Considere as seguintes atirmaçöes.
( ) A série sumn >= 1 sen(n)n^7 é absolutamente convergente, mas a série sumn >= 2 (1)^nn^2 nâo.
( ) As series sumn >= 1 sen(n)n^7 e sumn >= 2 (-1)^nn^2 convergem condicionalmente e sumn >= 2 (-1)^nn nâo.
( ) As séries sumn >= 1 sen(n)n^7, sumn >= 2 (-1)^nn^2 e sumn >= 2 (-1)^nn convergem absolutamente.
( ) A série sumn >= 2 (-1)^nn converge condicionalmente e as séries sumn >= 1 sen(n)n^7 e sumn >= 2 (-1)^nn^2 divergem.
Nestas condiçōes, a sequência verdadeira é:
(a) FFFV
(d) FFVV
(b) VVVV
(f) nenhuma das alternativas anteriores
© FFFF
  • Resposta. A alternativa correta é a letra ©.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre convergência de séries. O enunciado nos apresenta três séries diferentes e pede para verificarmos quais delas convergem absolutamente, condicionalmente ou não convergem. Para isso, vamos precisar entender conceitos como convergência absoluta e convergência condicional de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série . Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Isso nos ajuda a utilizar o Teste da Comparação.

Passo 3

Aplicando o Teste da Comparação, comparamos . Sabemos que a série é uma série p com , o que significa que ela converge.

Passo 4

Como a série comparada converge e os termos da nossa série original são menores em módulo, concluímos que a série converge absolutamente.

Passo 5

Agora, vamos para a série . Essa é uma série alternada, pois os termos mudam de sinal.

Passo 6

Aplicamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem de forma monótona para zero, a série converge. De fato, diminui e tende a zero quando tende ao infinito.

Passo 7

Além disso, a série também converge (é uma série p com ), o que implica que a série original converge absolutamente.

Passo 8

Por fim, analisamos a série . Essa também é uma série alternada.

Passo 9

Aplicando novamente o Teste da Série Alternada, vemos que diminui e tende a zero. Portanto, a série converge condicionalmente.

Resposta

A alternativa correta é a letra ©.

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