Considre a função abaixo
que é bijetiva e possui inversa
. Sendo
o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa
da
, podemos dizer que:
Observação:
Observação:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos uma função $ f $ definida no intervalo
que mapeia para
e é bijetiva, ou seja, uma função que é tanto injetora (cada valor de entrada gera um valor de saída único) quanto sobrejetora (todos os valores do conjunto de saída são atingidos). Queremos encontrar os valores de $ k $, $ m $ e a expressão da função inversa $ g(y) $ de $ f $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam, especialmente o cosseno, e como determinar os parâmetros que garantem que $ f $ seja uma bijeção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = -4 \cos(x + 7) + 5 $. Sabemos que a função cosseno $ \cos(x) $ tem um intervalo de
. Multiplicando por
, o intervalo se torna
. Adicionando 5, o intervalo final da função $ f $ será
.
No entanto, a função $ f $ mapeia para
. Para que isso ocorra, devemos ajustar o deslocamento vertical. Observando a função, percebemos que o valor máximo ocorre quando $ \cos(x + 7) $ é mínimo, ou seja, quando $ \cos(x + 7) = -1 $:
E o valor mínimo ocorre quando $ \cos(x + 7) = 1 $:
Mas queremos que o intervalo de saída seja
. Portanto, ajustamos para que o valor máximo seja 5:
Na verdade, para que o intervalo de saída seja
, o valor máximo deve ser 5. Portanto:
Isso ocorre quando $ x + 7 = \frac{\pi}{2} $, então:
Portanto, o valor mínimo de $ f(x) $ será:
No entanto, para ajustar o intervalo de saída para
, devemos considerar que o valor mínimo de $ f(x) $ é 1, então $ m = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de $ k $. Para que a função seja bijetiva, ela deve ser estritamente crescente ou decrescente no intervalo considerado. A derivada de $ f(x) $ nos dirá isso:
Para $ f(x) $ ser estritamente crescente, $ f’(x) $ deve ser positivo. Isso acontece quando $ \sin(x + 7) > 0 $, ou seja, quando $ x + 7 $ está no primeiro ou segundo quadrante do círculo trigonométrico.
Portanto, o maior valor possível de $ k $ que mantém a função estritamente crescente é aquele onde a função começa a subir, que é $ k = 0 $.
Passo 4
Para encontrar a função inversa $ g(y) $, começamos com:
Isolando $ \cos(x + 7) $:
Agora, aplicamos o arco-cosseno para encontrar $ x + 7 $:
Finalmente, isolamos $ x $:
Mas queremos expressar $ g(y) $ de forma que esteja em termos de $ y $:
Resposta
$ k = 0 $, $ m = 4 $ e $ g(y) = \arccos\left(\frac{-y + 7}{4}\right) - 5 $.