Considre a função abaixo
f:[k, pi-142] & longrightarrow[m, 5] x & longmapsto-4 cos (x+7)+5
que é bijetiva e possui inversa g. Sendo k o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa g da f, podemos dizer que:
Observação: g=f^-1
k=0, m=4, g(y)=arccos ((-y+7) / 4)-5

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos uma função $ f $ definida no intervalo f que mapeia para [k, pi-142] e é bijetiva, ou seja, uma função que é tanto injetora (cada valor de entrada gera um valor de saída único) quanto sobrejetora (todos os valores do conjunto de saída são atingidos). Queremos encontrar os valores de $ k $, $ m $ e a expressão da função inversa $ g(y) $ de $ f $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam, especialmente o cosseno, e como determinar os parâmetros que garantem que $ f $ seja uma bijeção.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = -4 \cos(x + 7) + 5 $. Sabemos que a função cosseno $ \cos(x) $ tem um intervalo de f(x) = -4 cos(x + 7) + 5 . Multiplicando por cos(x) , o intervalo se torna [-1, 1]. Adicionando 5, o intervalo final da função $ f $ será -4.
No entanto, a função $ f $ mapeia para [4, -4]. Para que isso ocorra, devemos ajustar o deslocamento vertical. Observando a função, percebemos que o valor máximo ocorre quando $ \cos(x + 7) $ é mínimo, ou seja, quando $ \cos(x + 7) = -1 $:
f á
E o valor mínimo ocorre quando $ \cos(x + 7) = 1 $:
[5 - 4, 5 + 4] = [1, 9]í
Mas queremos que o intervalo de saída seja f . Portanto, ajustamos para que o valor máximo seja 5:
[m, 5]ãéíã
Na verdade, para que o intervalo de saída seja cos(x + 7) , o valor máximo deve ser 5. Portanto:
cos(x + 7) = -1 á
Isso ocorre quando $ x + 7 = \frac{\pi}{2} $, então:
fmáximo = -4(-1) + 5 = 4 + 5 = 9
Portanto, o valor mínimo de $ f(x) $ será:
cos(x + 7) = 1 í
No entanto, para ajustar o intervalo de saída para fmínimo = -4(1) + 5 = -4 + 5 = 1 , devemos considerar que o valor mínimo de $ f(x) $ é 1, então $ m = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos determinar o valor de $ k $. Para que a função seja bijetiva, ela deve ser estritamente crescente ou decrescente no intervalo considerado. A derivada de $ f(x) $ nos dirá isso:
k
Para $ f(x) $ ser estritamente crescente, $ f’(x) $ deve ser positivo. Isso acontece quando $ \sin(x + 7) > 0 $, ou seja, quando $ x + 7 $ está no primeiro ou segundo quadrante do círculo trigonométrico.
Portanto, o maior valor possível de $ k $ que mantém a função estritamente crescente é aquele onde a função começa a subir, que é $ k = 0 $.

Passo 4

Para encontrar a função inversa $ g(y) $, começamos com:
g(y)
Isolando $ \cos(x + 7) $:
y = -4 cos(x + 7) + 5
Agora, aplicamos o arco-cosseno para encontrar $ x + 7 $:
cos(x + 7)
Finalmente, isolamos $ x $:
y - 5 = -4 cos(x + 7) implies cos(x + 7) = 5 - y4
Mas queremos expressar $ g(y) $ de forma que esteja em termos de $ y $:
x + 7

Resposta

$ k = 0 $, $ m = 4 $ e $ g(y) = \arccos\left(\frac{-y + 7}{4}\right) - 5 $.

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