Converta
para:
coordenadas esféricas;
coordenadas esféricas;
Passo 1
O enunciado pede para converter a integral em coordenadas cilíndricas. O sólido é dado por 0≤θ≤2π, 0≤r≤√2, e r≤z≤√{4−r²}. Em coordenadas esféricas temos r=ρ
sinφ e z=ρ
cosφ. As superfícies r=z e x²+y²+z²=4 viram φ=π/4 e ρ=2.
sinφ e z=ρ
cosφ. As superfícies r=z e x²+y²+z²=4 viram φ=π/4 e ρ=2.
Passo 2
Como z≥r implica ρ
cosφ≥ρ
sinφ, temos φ≤π/4. Logo θ∈[0,2π], φ∈[0,π/4], ρ∈[0,2]. O elemento de volume é dV=ρ²
sinφ
dρ
dφ
dθ e o integrando 3r vira 3(ρ
sinφ). Portanto o integrando total é 3ρ³
sin²φ.
cosφ≥ρ
sinφ, temos φ≤π/4. Logo θ∈[0,2π], φ∈[0,π/4], ρ∈[0,2]. O elemento de volume é dV=ρ²
sinφ
dρ
dφ
dθ e o integrando 3r vira 3(ρ
sinφ). Portanto o integrando total é 3ρ³
sin²φ.
Passo 3
Assim a integral em coordenadas esféricas fica