Converta integral0^2 pi integral0^raiz2 integralr^raiz4-r^2 3 r d z d r d theta para:
coordenadas esféricas;

Passo 1

O enunciado pede para converter a integral em coordenadas cilíndricas. O sólido é dado por 0≤θ≤2π, 0≤r≤√2, e r≤z≤√{4−r²}. Em coordenadas esféricas temos r=ρ
sinφ e z=ρ
cosφ. As superfícies r=z e x²+y²+z²=4 viram φ=π/4 e ρ=2.

Passo 2

Como z≥r implica ρ
cosφ≥ρ
sinφ, temos φ≤π/4. Logo θ∈[0,2π], φ∈[0,π/4], ρ∈[0,2]. O elemento de volume é dV=ρ²
sinφ


dθ e o integrando 3r vira 3(ρ
sinφ). Portanto o integrando total é 3ρ³
sin²φ.

Passo 3

Assim a integral em coordenadas esféricas fica

Resposta

integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/4integralrho=0^23,rho^3,sin^2phi,drho,dphi,dtheta

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