Considre a função abaixo
que é bijetiva e possui inversa
. Sendo
o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa
da
, podemos dizer que:
Observação:
Observação:
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos a função $ f $ definida por
com a expressão $ f(x) = -4 \cos(x + 7) + 5 $. Sabemos que essa função é bijetiva, ou seja, é injetora (não repete valores) e sobrejetora (cobre todo o intervalo de saída). Além disso, $ f $ possui uma inversa chamada $ g $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ k $, $ m $ e a expressão de $ g(y) $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, propriedades de funções bijetivas e como encontrar a inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = -4 \cos(x + 7) + 5 $. Sabemos que a função cosseno, $ \cos(\theta) $, tem uma imagem (valores de saída) entre -1 e 1, ou seja, $ \cos(\theta) \in [-1, 1] $.
Multiplicando o cosseno por -4, a amplitude da função se altera:
Isso inverte o gráfico da função cosseno e amplia sua amplitude para 4.
Ao adicionar 5, deslocamos toda a função para cima no gráfico:
Portanto, a imagem de $ f(x) $ é $ [1, 9] $.
Passo 3
No enunciado, o contradomínio da função $ f $ é dado como $ [m, 5] $. Para que $ f $ seja bijetiva, a imagem da função deve coincidir exatamente com o contradomínio. Assim, igualando:
Observamos que para $ 5 $ ser o limite superior, precisamos ajustar o intervalo de $ x $ para que a imagem máxima de $ f(x) $ seja 5.
Passo 4
Para garantir que $ f $ seja bijetiva, devemos restringir o domínio de $ x $ de forma que $ f(x) $ seja estritamente crescente ou decrescente. Observando $ f(x) = -4 \cos(x + 7) + 5 $, vemos que a função cosseno é refletida e invertida devido ao coeficiente -4, tornando $ f(x) $ uma função crescente nesse intervalo.
Para que $ f $ alcance o valor máximo de 5, a expressão $ -4 \cos(x + 7) + 5 $ deve ser igual a 5, ou seja:
A solução para $ \cos(\theta) = 0 $ é $ \theta = \frac{\pi}{2} $. Portanto:
Isso nos dá o limite superior do domínio:
Portanto, o maior valor possível para $ k $ que garante a bijetividade é $ k = -7 $.
Passo 5
Agora, vamos determinar o valor de $ m $. Sabemos que a imagem mínima de $ f(x) $ é 1. Portanto:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a inversa $ g(y) $, começamos com a equação original:
Resolvendo para $ x $:
Isolando $ x $:
Portanto, a inversa $ g(y) $ é:
Resposta
$ k = -7 $, $ m = 1 $ e $ g(y) = \arccos\left( \frac{ -y + 5 }{ 4 } \right) - 7 $