Questão 2 (2,0 pontos) Calcule a integral dupla
I=integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
I = integral-1^1 integral0^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2)^3/2 , dy , dx
Esse tipo de integral pertence ao assunto de integrais duplas no Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar usar a mudança para coordenadas polares, que geralmente simplifica integrais envolvendo regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de x vão de -1 a 1, e para cada x, y vai de 0 até raiz1 - x^2. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem.
Como estamos lidando com um círculo, mudar para coordenadas polares vai facilitar bastante nosso trabalho.

Passo 3

Nas coordenadas polares, temos as relações:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dy , dx vira r , dr , dtheta.
Para a nossa região:
  • O ângulo theta varia de 0 a pi (já que estamos na metade superior do círculo).
  • O raio r varia de 0 a 1 (o raio do círculo).

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
I = integral0^pi integral0^1 ( (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 )^3/2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando dentro do parêntese:
(r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta)^3/2 = r^3 (cos^2 theta + sin^2 theta)^3/2 = r^3 cdot 1^3/2 = r^3
Então, a integral fica:
I = integral0^pi integral0^1 r^3 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^1 r^4 , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a r:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 - 0 = 15
Então, a integral se simplifica para:
I = 15 integral0^pi , dtheta

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^pi , dtheta = pi
Portanto:
I = 15 cdot pi = pi5

Resposta

O valor da integral dupla é $ \dfrac{\pi}{5} $.

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