Questão 2 (2,0 pontos) Calcule a integral dupla
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
Esse tipo de integral pertence ao assunto de integrais duplas no Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar usar a mudança para coordenadas polares, que geralmente simplifica integrais envolvendo regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de
vão de
a
, e para cada
,
vai de
até
. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem.
Como estamos lidando com um círculo, mudar para coordenadas polares vai facilitar bastante nosso trabalho.
Passo 3
Nas coordenadas polares, temos as relações:
E o elemento de área
vira
.
Para a nossa região:
- O ângulo
varia de a (já que estamos na metade superior do círculo). - O raio
varia de a (o raio do círculo).
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Simplificando dentro do parêntese:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a
:
Portanto:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \dfrac{\pi}{5} $.