Considre a função abaixo
que é bijetiva e possui inversa
. Sendo
o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa
da
, podemos dizer que:
Observação:
Observação:
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
,
e a inversa
da função
dada por
. Vamos usar conceitos de monotonicidade do cosseno e manipulação algébrica para inverter a função.
Passo 2
Para que
seja injetiva e defina uma bijeção, o cosseno deve ficar em um intervalo onde é monotônico. Sabemos que
é monotônico decrescente em
. Logo, exigimos
para que
ao longo de
. Daí vem
O menor valor de
que atende isso (e, portanto, maximiza o comprimento do intervalo de definição) é
.
Passo 3
O valor
é a imagem de
. Calculando:
Portanto
.
Passo 4
Para encontrar a inversa
, escrevemos
e resolvemos para
:
Logo,
Passo 5
Comparando com a proposta
,
,
, vemos que apenas
está certo. Os valores corretos são
,
e $g(y)=\arccos\bigl((2-y)/4\bigr)-8.
Resposta
k = -8, m = -2, g(y) = arccos((2 - y)/4) - 8