Considre a função abaixo
f:[k, pi-162] & longrightarrow[m, 2] x & longmapsto-4 cos (x+8)+2
que é bijetiva e possui inversa g. Sendo k o maior número real onde é possível ter uma bijeção e definir a inversa g da f, podemos dizer que:
Observação: g=f^-1
k=-8, m=1, g(y)=arccos (y)-8

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de k, m e a inversa g da função fcolon [k,,(pi-16)/2]to [m,2] dada por f(x)=-4cos(x+8)+2. Vamos usar conceitos de monotonicidade do cosseno e manipulação algébrica para inverter a função.

Passo 2

Para que f seja injetiva e defina uma bijeção, o cosseno deve ficar em um intervalo onde é monotônico. Sabemos que cos t é monotônico decrescente em [0,pi]. Logo, exigimos
k+8>=0
para que x+8in[0,pi] ao longo de xin[k,(pi-16)/2]. Daí vem
k>=-8
O menor valor de k que atende isso (e, portanto, maximiza o comprimento do intervalo de definição) é k=-8.

Passo 3

O valor m é a imagem de x=k. Calculando:
f(-8)=-4cos((-8)+8)+2=-4cos0+2=-4cdot1+2=-2
Portanto m=-2.

Passo 4

Para encontrar a inversa g=f^-1, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y=-4cos(x+8)+2
y-2-4=cos(x+8)
x+8=arccosl((2-y)/4r)
Logo,
g(y)=arccosl((2-y)/4r)-8

Passo 5

Comparando com a proposta k=-8, m=1, g(y)=arccos(y)-8, vemos que apenas k está certo. Os valores corretos são k=-8, m=-2 e $g(y)=\arccos\bigl((2-y)/4\bigr)-8.

Resposta

k = -8, m = -2, g(y) = arccos((2 - y)/4) - 8

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