Mostre que se
é contínua e existem
em
satisfazendo
e
, então existe um
em
tal que
. Sugestão: use o Teorema do Anulamento para a função auxiliar
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que uma função contínua f:[a,b]→[a,b] que troque dois pontos c₁≠c₂ (isto é, f(c₁)=c₂ e f(c₂)=c₁) tem necessariamente um ponto fixo f©=c. O conteúdo principal é ponto fixo e usaremos o Teorema do Valor Intermediário (Teorema do Anulamento) na função auxiliar g.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
. Como f é contínua em [a,b] e a identidade x↦x também é contínua, segue que g é contínua em [a,b]. Para achar um ponto fixo de f, basta encontrar c tal que g©=0.
Passo 3
Calculamos os valores de g em c₁ e c₂:
e
. Como c₁≠c₂, temos
, ou seja, g(c₁) e g(c₂) têm sinais opostos.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, sendo g contínua e g(c₁)·g(c₂)<0, existe c em (min(c₁,c₂),max(c₁,c₂))⊆[a,b] tal que
. Logo
, ou seja,
.
Resposta
Existe c ∈ [a,b] tal que f©=c.