Mostre que se f:[a, b] [a, b] é contínua e existem c1 neq c2 em [a, b] satisfazendo f(c1)=c2 e f(c2)=c1, então existe um c em [a, b] tal que f(c)=c. Sugestão: use o Teorema do Anulamento para a função auxiliar g(x)=f(x)-x.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que uma função contínua f:[a,b]→[a,b] que troque dois pontos c₁≠c₂ (isto é, f(c₁)=c₂ e f(c₂)=c₁) tem necessariamente um ponto fixo f©=c. O conteúdo principal é ponto fixo e usaremos o Teorema do Valor Intermediário (Teorema do Anulamento) na função auxiliar g.

Passo 2

Definimos a função auxiliar g(x)=f(x)-x. Como f é contínua em [a,b] e a identidade x↦x também é contínua, segue que g é contínua em [a,b]. Para achar um ponto fixo de f, basta encontrar c tal que g©=0.

Passo 3

Calculamos os valores de g em c₁ e c₂: g(c₁)=f(c₁)-c₁=c₂-c₁ e g(c₂)=f(c₂)-c₂=c₁-c₂. Como c₁≠c₂, temos (c₂-c₁)(c₁-c₂)=-(c₂-c₁)^2<0, ou seja, g(c₁) e g(c₂) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, sendo g contínua e g(c₁)·g(c₂)<0, existe c em (min(c₁,c₂),max(c₁,c₂))⊆[a,b] tal que g(c)=0. Logo f(c)-c=0, ou seja, f(c)=c.

Resposta

Existe c ∈ [a,b] tal que f©=c.

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