Um pulso contendo N=10^{6} partículas de massa m e momento dentro de um intervalo muito estreito em tormo de p_{1}=\hbar k_{1} é disparado de um ponto em x<0 e viaja numa região de potencial nulo em diregão ao pomo x=0, onde o potencial muda bruscamente para un valor que pode ser considerado constante, V_{0}, para todo intervalo x \geq 0. A energia cinética inicial de cada partícula é igual a E=4 V_{0}.
(a) (4 pts) Encontre as soluções da equação de Schrödinger nas regiões x<0 e x>0 para este potencial e explique o que deve ocorrer com o pulso inicial apos atingir x=0;
(b) (3 pts) Calcule o número de onda k_{2}, da região x>0, como função de k_{1}, da região x<0;
(c) (3 pts) Use o resultado do item b) para estimar o número de partículas transmitidas e refletidas na interface.

Passo 1

  • Dados do enunciado:
    • Número de partículas do pulso: N=10^{6}.
    • Massa de cada partícula: m.
    • Momento central do pulso na região x<0: p_{1}=\hbar k_{1}.
    • Potencial: V(x)=0 para x<0 e V(x)=V_{0} (constante) para x\ge 0.
    • Energia cinética inicial de cada partícula: E=4V_{0}.
  • O que se pede:
    (a) Encontrar as soluções da equação de Schrödinger nas regiões x<0 e x>0 e explicar o que ocorre com o pulso ao atingir x=0.
    (b) Calcular o número de onda k_{2} na região x>0 em função de k_{1}.
    (c) Estimar o número de partículas transmitidas e refletidas na interface.

Passo 2

  • Forma geral das soluções estacionárias (estado de energia E). Vou escrever a dependência espacial; o fator temporal comum é \mathrm{e}^{-iEt/\hbar} e pode ser multiplicado em todas as soluções sem alterar as razões de probabilidades.
  • Para x<0 (região livre à esquerda, onde chega o pulso) deve haver uma onda incidente vindo da esquerda e uma refletida voltando para a esquerda. Assim a solução espacial é a soma de duas ondas planas:
\psi_{1}(x)=A\,\mathrm{e}^{ik_{1}x}+B\,\mathrm{e}^{-ik_{1}x},\qquad x<0.
Aqui A é a amplitude da onda incidente (direção positiva) e B a amplitude da onda refletida (direção negativa). O número de onda k_{1} satisfaz a relação de energia na região onde V=0, que usaremos depois.
  • Para x\ge 0 (região com potencial V_{0}), se E>V_{0} a partícula ainda tem energia cinética positiva aí e a solução são ondas propagantes para a direita (não há fonte vindo de +\infty, então não colocamos onda incidente da direita). Assim:
\psi_{2}(x)=C\,\mathrm{e}^{ik_{2}x},\qquad x\ge 0.
Aqui C é a amplitude da onda transmitida e k_{2} é o número de onda na região x\ge 0.
  • Resumo físico do que acontece com o pulso: ao atingir x=0 parte da amplitude é refletida (volta para x<0) e parte é transmitida para x\ge 0. As amplitudes B e C são determinadas impondo continuidade da função de onda e de sua derivada em x=0 (condições de contorno da equação de Schrödinger).

Passo 3

  • Condições de contorno em x=0:
    • Continuidade da função de onda:
    \psi_{1}(0)=\psi_{2}(0)\quad\implies\quad A+B=C.
    • Continuidade da derivada espacial \psi'(x) (pois o potencial tem descontinuidade finita mas a equação exige continuidade da derivada para potenciais finitos):
    \psi_{1}'(0)=\psi_{2}'(0)\quad\implies\quad ik_{1}(A-B)=ik_{2}C.
  • Eliminando C usando C=A+B e resolvendo para a razão de amplitudes r\equiv B/A e t\equiv C/A:
    • Da segunda equação:
    k_{1}(A-B)=k_{2}C=k_{2}(A+B).
    • Reescrevendo:
    k_{1}A-k_{1}B = k_{2}A + k_{2}B.
(k_{1}-k_{2})A = (k_{1}+k_{2})B.
\frac{B}{A}=r=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}.
  • E como t=C/A=1+r:
t=\frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.

Passo 4

  • Probabilidades de reflexão e transmissão (pois o que importa experimentalmente são fluxos/probabilidades):
    • Coeficiente de reflexão (probabilidade): R=|r|^{2}. Aqui r é real porque k_{1},k_{2} são reais (energia acima do passo), então
    R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}.
    • Coeficiente de transmissão (probabilidade) requer comparar fluxos (corrente de probabilidade) à direita e à esquerda. Para uma onda plana \psi(x)=A\mathrm{e}^{ikx} o fluxo (corrente) é j=(\hbar k/m)|A|^{2}. Portanto
    T=\frac{\text{fluxo transmitido}}{\text{fluxo incidente}}=\frac{(\hbar k_{2}/m)|C|^{2}}{(\hbar k_{1}/m)|A|^{2}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}|t|^{2}.
    • Substituindo t=2k_{1}/(k_{1}+k_{2}) dá a forma usual:
    T=\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
    • Verificação: R+T=1 (conservação de probabilidade / corrente) quando k_{1},k_{2} são reais, como é o nosso caso.

Passo 5

  • Relação entre k_{1} e k_{2} a partir das energias:
    • Em x<0 (onde V=0) a energia cinética E está relacionada a k_{1} por
    E=\frac{\hbar^{2}k_{1}^{2}}{2m}.
    • Em x\ge 0 a energia cinética efetiva é E-V_{0}, logo
    E-V_{0}=\frac{\hbar^{2}k_{2}^{2}}{2m}.
    • Dividindo as duas expressões e usando E=4V_{0}:
    \frac{k_{2}^{2}}{k_{1}^{2}}=\frac{E-V_{0}}{E}=\frac{4V_{0}-V_{0}}{4V_{0}}=\frac{3}{4}.
    • Portanto
    \boxed{\,k_{2}=k_{1}\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,k_{1}\, }.

Passo 6

  • Calcular numericamente R e T usando k_{2}/k_{1}= \sqrt{3}/2.
    • Seja r_{\mathrm{ratio}}=\dfrac{k_{2}}{k_{1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • Então
    R=\left(\frac{1-r_{\mathrm{ratio}}}{1+r_{\mathrm{ratio}}}\right)^{2} =\left(\frac{1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2} =\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^{2}.
    • Avaliando numericamente ( \sqrt{3}\approx 1{,}73205):
    R\approx 0{,}00516\quad(\text{aprox. }0{,}516\%).
    • E
    T=1-R\approx 0{,}99484\quad(\text{aprox. }99{,}484\%).

Passo 7

  • Estimar número de partículas transmitidas e refletidas:
    • Número refletido N_{R}=N\,R:
    N_{R}\approx 10^{6}\times 0{,}00516\approx 5{,}16\times 10^{3}\approx 5160.
    • Número transmitido N_{T}=N\,T:
    N_{T}\approx 10^{6}\times 0{,}99484\approx 9{,}9484\times 10^{5}\approx 994840.
  • Interpretação física final (rápida e motivadora): a maior parte do pulso é transmitida porque E é bem maior que V_{0}, mas há uma pequena reflexão por causa da descontinuidade do potencial — mesmo numa “barreira” que não bloqueia energeticamente, ocorre reflexão por mudança de impedância quântica (analogia com ondas numa corda com densidade diferente). A onda transmitida tem número de onda menor ( k_{2}<k_{1}), logo comprimento de onda maior e velocidade de fase/grupo menor na região x\ge 0.

Resposta

(a) \psi_{1}(x)=A\,\mathrm{e}^{ik_{1}x}+B\,\mathrm{e}^{-ik_{1}x} para x<0, \psi_{2}(x)=C\,\mathrm{e}^{ik_{2}x} para x\ge 0. Parte do pulso é refletida (amplitude B) e parte é transmitida (amplitude C); B/A=(k_{1}-k_{2})/(k_{1}+k_{2}), C/A=2k_{1}/(k_{1}+k_{2}).
(b) \displaystyle k_{2}=k_{1}\sqrt{\frac{E-V_{0}}{E}}=k_{1}\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}k_{1}.
(c) R=\left(\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}\approx 0{,}00516\Rightarrow N_{R}\approx 5160. \;T=1-R\approx 0{,}99484\Rightarrow N_{T}\approx 994840.

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