Um pulso contendo
partículas de massa
e momento dentro de um intervalo muito estreito em tormo de
é disparado de um ponto em
e viaja numa região de potencial nulo em diregão ao pomo
, onde o potencial muda bruscamente para un valor que pode ser considerado constante,
, para todo intervalo
. A energia cinética inicial de cada partícula é igual a
.
(a) (4 pts) Encontre as soluções da equação de Schrödinger nas regiões
e
para este potencial e explique o que deve ocorrer com o pulso inicial apos atingir
;
(b) (3 pts) Calcule o número de onda
, da região
, como função de
, da região
;
(c) (3 pts) Use o resultado do item b) para estimar o número de partículas transmitidas e refletidas na interface.
(a) (4 pts) Encontre as soluções da equação de Schrödinger nas regiões
(b) (3 pts) Calcule o número de onda
(c) (3 pts) Use o resultado do item b) para estimar o número de partículas transmitidas e refletidas na interface.
Passo 1
- Dados do enunciado:
- Número de partículas do pulso:
. - Massa de cada partícula:
. - Momento central do pulso na região
: . - Potencial:
para e (constante) para . - Energia cinética inicial de cada partícula:
.
- Número de partículas do pulso:
- O que se pede:
(a) Encontrar as soluções da equação de Schrödinger nas regiõese e explicar o que ocorre com o pulso ao atingir .
(b) Calcular o número de ondana região em função de .
(c) Estimar o número de partículas transmitidas e refletidas na interface.
Passo 2
- Forma geral das soluções estacionárias (estado de energia
). Vou escrever a dependência espacial; o fator temporal comum é e pode ser multiplicado em todas as soluções sem alterar as razões de probabilidades. - Para
(região livre à esquerda, onde chega o pulso) deve haver uma onda incidente vindo da esquerda e uma refletida voltando para a esquerda. Assim a solução espacial é a soma de duas ondas planas:
Aqui
é a amplitude da onda incidente (direção positiva) e
a amplitude da onda refletida (direção negativa). O número de onda
satisfaz a relação de energia na região onde
, que usaremos depois.
- Para
(região com potencial ), se a partícula ainda tem energia cinética positiva aí e a solução são ondas propagantes para a direita (não há fonte vindo de , então não colocamos onda incidente da direita). Assim:
Aqui
é a amplitude da onda transmitida e
é o número de onda na região
.
- Resumo físico do que acontece com o pulso: ao atingir
parte da amplitude é refletida (volta para ) e parte é transmitida para . As amplitudes e são determinadas impondo continuidade da função de onda e de sua derivada em (condições de contorno da equação de Schrödinger).
Passo 3
- Condições de contorno em
: - Continuidade da função de onda:
- Continuidade da derivada espacial
(pois o potencial tem descontinuidade finita mas a equação exige continuidade da derivada para potenciais finitos):
- Eliminando
usando e resolvendo para a razão de amplitudes e : - Da segunda equação:
- Reescrevendo:
- E como
:
Passo 4
- Probabilidades de reflexão e transmissão (pois o que importa experimentalmente são fluxos/probabilidades):
- Coeficiente de reflexão (probabilidade):
. Aqui é real porque são reais (energia acima do passo), então
- Coeficiente de transmissão (probabilidade) requer comparar fluxos (corrente de probabilidade) à direita e à esquerda. Para uma onda plana
o fluxo (corrente) é . Portanto
- Substituindo
dá a forma usual:
- Verificação:
(conservação de probabilidade / corrente) quando são reais, como é o nosso caso.
- Coeficiente de reflexão (probabilidade):
Passo 5
- Relação entre
e a partir das energias: - Em
(onde ) a energia cinética está relacionada a por
- Em
a energia cinética efetiva é , logo
- Dividindo as duas expressões e usando
:
- Portanto
- Em
Passo 6
- Calcular numericamente
e usando . - Seja
. - Então
- Avaliando numericamente (
):
- E
- Seja
Passo 7
- Estimar número de partículas transmitidas e refletidas:
- Número refletido
:
- Número transmitido
:
- Número refletido
- Interpretação física final (rápida e motivadora): a maior parte do pulso é transmitida porque
é bem maior que , mas há uma pequena reflexão por causa da descontinuidade do potencial — mesmo numa “barreira” que não bloqueia energeticamente, ocorre reflexão por mudança de impedância quântica (analogia com ondas numa corda com densidade diferente). A onda transmitida tem número de onda menor ( ), logo comprimento de onda maior e velocidade de fase/grupo menor na região .
Resposta
(a)
para
,
para
. Parte do pulso é refletida (amplitude
) e parte é transmitida (amplitude
);
,
.
(b) .
(c) .
.
(b)
(c)