Question 3 (2.5 pontos)
Encontre a distância mais provável entre um elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado n=2 e l=1, em termos de a_{0}, o raio de Bohr.
□ a_{0}
□ 2 a_{0}
□ 3 a_{0}
□ 4 a_{0}
□ 5 a_{0}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a distância mais provável entre um elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio, no estado com n=2 e l=1. As alternativas dadas são:
A probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+\mathrm{d}r é dada pela distribuição radial
P(r)\,\mathrm{d}r = \underbrace{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} |\psi|^{2}\,r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi}_{\text{integração sobre ângulos}}\,\mathrm{d}r.
Como os harmônicos esféricos Y_{\ell m} são normalizados sobre a esfera, a integração angular dá 1, portanto
P(r)=r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}.
Explicando devagar: o fator r^{2} vem do elemento de volume em coordenadas esféricas (\mathrm{d}V = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r). Então para achar a distância mais provável basta maximizar P(r) em função de r.
Passo 3
Precisamos da parte radial R_{21}(r) para o estado n=2,\; \ell=1. Uma forma geral (sem entrar em muitos detalhes tediosos) é:
onde L_{k}^{\alpha} são os polinômios associados de Laguerre. Para n=2,\; \ell=1 temos n-\ell-1=0, então o polinômio de Laguerre é constante igual a 1. Logo a dependência em r é simplesmente
Obs.: o fator de normalização (constante multiplicativa) existe, mas não é necessário para localizar o máximo de P(r), porque constantes multiplicativas não mudam onde a função atinge seu máximo.
Passo 4
Agora montamos a distribuição radial P(r). Usando R_{21}(r)\propto (r/a_{0})e^{-r/(2a_{0})},
As soluções são r=0 (raiz tripla) ou 4-\dfrac{r}{a_{0}}=0. O fator exponencial nunca zera. Portanto a solução não-nula é
r=4a_{0}.
Interpretação: r=0 dá probabilidade zero (porque a função radial tem fator r para p-estados), ou seja é um mínimo/nó; o máximo relevante é r=4a_{0}.
Passo 6
Concluímos que a distância radial mais provável para o elétron no estado (n=2,\; \ell=1) é 4a_{0}. Vai dar certo na prova — lembra de argumentar que usamos P(r)=r^{2}|R_{n\ell}|^{2} e de derivar corretamente para achar o máximo. Boa! Força aí!