Question 3 (2.5 pontos)
Encontre a distância mais provável entre um elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado n=2 e l=1, em termos de a_{0}, o raio de Bohr.
a_{0}
2 a_{0}
3 a_{0}
4 a_{0}
5 a_{0}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a distância mais provável entre um elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio, no estado com n=2 e l=1. As alternativas dadas são:
a_{0},\quad 2a_{0},\quad 3a_{0},\quad 4a_{0},\quad 5a_{0}.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas:
  • Estamos no átomo de hidrogênio, com raio de Bohr a_{0}.
  • O estado é n=2,\; l=1 (estado conhecido como 2p).
  • Queremos a distância radial r que maximiza a probabilidade de encontrar o elétron (distância mais provável).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a função de onda em coordenadas esféricas separa em parte radial e parte angular:
\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=R_{n\ell}(r)\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
A probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+\mathrm{d}r é dada pela distribuição radial
P(r)\,\mathrm{d}r = \underbrace{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} |\psi|^{2}\,r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi}_{\text{integração sobre ângulos}}\,\mathrm{d}r.çãâ
Como os harmônicos esféricos Y_{\ell m} são normalizados sobre a esfera, a integração angular dá 1, portanto
P(r)=r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}.
Explicando devagar: o fator r^{2} vem do elemento de volume em coordenadas esféricas ( \mathrm{d}V = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r). Então para achar a distância mais provável basta maximizar P(r) em função de r.

Passo 3

Precisamos da parte radial R_{21}(r) para o estado n=2,\; \ell=1. Uma forma geral (sem entrar em muitos detalhes tediosos) é:
R_{n\ell}(r)\propto \left(\frac{r}{a_{0}}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\!\bigg(\frac{2r}{n a_{0}}\bigg)\,e^{-r/(n a_{0})},
onde L_{k}^{\alpha} são os polinômios associados de Laguerre. Para n=2,\; \ell=1 temos n-\ell-1=0, então o polinômio de Laguerre é constante igual a 1. Logo a dependência em r é simplesmente
R_{21}(r)\propto \left(\frac{r}{a_{0}}\right)e^{-r/(2a_{0})}.
Obs.: o fator de normalização (constante multiplicativa) existe, mas não é necessário para localizar o máximo de P(r), porque constantes multiplicativas não mudam onde a função atinge seu máximo.

Passo 4

Agora montamos a distribuição radial P(r). Usando R_{21}(r)\propto (r/a_{0})e^{-r/(2a_{0})},
|R_{21}(r)|^{2}\propto \left(\frac{r}{a_{0}}\right)^{2} e^{-r/a_{0}}.
Multiplicando pelo r^{2} do elemento de volume obtemos (proporcionalmente)
P(r)=r^{2}|R_{21}(r)|^{2}\propto r^{2}\left(\frac{r}{a_{0}}\right)^{2} e^{-r/a_{0}} \propto r^{4}e^{-r/a_{0}}.
Para encontrar a distância mais provável precisamos maximizar a função
f(r)=r^{4}e^{-r/a_{0}},\qquad r\ge 0.

Passo 5

Vamos maximizar f(r) calculando sua derivada e igualando a zero. Primeiro derivada por r:
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\big(r^{4}e^{-r/a_{0}}\big).
Usando a regra do produto:
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}=4r^{3}e^{-r/a_{0}} + r^{4}\left(-\frac{1}{a_{0}}\right)e^{-r/a_{0}} = e^{-r/a_{0}}\,r^{3}\!\left(4-\frac{r}{a_{0}}\right).
Igualando a zero:
e^{-r/a_{0}}\,r^{3}\!\left(4-\frac{r}{a_{0}}\right)=0.
As soluções são r=0 (raiz tripla) ou 4-\dfrac{r}{a_{0}}=0. O fator exponencial nunca zera. Portanto a solução não-nula é
r=4a_{0}.
Interpretação: r=0 dá probabilidade zero (porque a função radial tem fator r para p-estados), ou seja é um mínimo/nó; o máximo relevante é r=4a_{0}.

Passo 6

Concluímos que a distância radial mais provável para o elétron no estado (n=2,\; \ell=1) é 4a_{0}. Vai dar certo na prova — lembra de argumentar que usamos P(r)=r^{2}|R_{n\ell}|^{2} e de derivar corretamente para achar o máximo. Boa! Força aí!

Resposta

4 a_{0}

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