A constante elástica de uma mola helicoidal depende do material do qual ela é feita e de suas características geométricas. Pode-se demonstrar que a constante da mola é dada por:
k=mu d^48 N D^3
em que d é o diâmetro do fio, D é o diâmetro interno da espira, N é o número de espiras e mu é o módulo da rigidez do material.
a) Determine a equação dimensional da constante elástica e do módulo da rigidez.
b) Quais as unidades de k e mu no Sistema Internacional de Unidades?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a constante da mola é
k = mu,d^48,N,D^3
onde
  • e têm dimensão de comprimento (L),
  • é adimensional (número de espiras),
  • é o módulo de rigidez (shear modulus).
Precisamos de:
  1. Análise dimensional (descobrir a “fórmula” de dimensões) de e de .
  2. Converter essas dimensões em unidades do SI.
O conteúdo principal é análise dimensional: a gente vai atribuir a cada grandeza uma combinação das dimensões básicas (massa), (comprimento) e (tempo) e depois isolar o que interessa.

Passo 2

Dimensão de [k] = [F][x] = M,L,T^-2L = M,T^-2 .
Teoria rapidinha: é a constante de mola, que liga força a deslocamento pela lei de Hooke .
  • Dimensão de força é .
  • Dimensão de deslocamento é .
Como , temos

Passo 3

Dimensão de mu = 8,N,D^3,kd^4 .
Podemos usar a fórmula dada e isolar [mu] = L^3 ,times, (M,T^-2)L^4 = M,L^-1,T^-2 :
  • é adimensional, então some nada.
  • , .
  • Já achamos .
Logo
Isso bate com a teoria de módulo de cisalhamento: é uma tensão (força/área) dividida por deformação adimensional, então

Passo 4

Unidades no Sistema Internacional:
  • Para [k] = Nm , dimensão [mu] = Pa = Nm^2 corresponde a newton por metro:
  • Para , dimensão corresponde a pascal (que é N/m²):

Resposta

a) Equações dimensionais:
[k] = M,T^-2, [mu] = M,L^-1,T^-2
b) Unidades no SI:
k;=;Nm, mu;=;Pa;=;Nm^2

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