Para k constante, encontre a solução de
l2 y^prime prime(t)+8 y(t)=k h(t-a) y(0)=10, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento por um degrau deslocado: 2 y’’(t)+8 y(t)=k h(t−a), com y(0)=10 e y’(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento para lidar com h(t−a).

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados, lembrando que L{y’’}=s²Y(s)−s y(0)−y’(0) e L{h(t−a)}=e^{−a s}/s, obtemos: 2[s²Y(s)−10s] + 8Y(s) = k e^{−a s}/s. Agrupando termos,
Y(s),l(2s^2+8r)=20s + k e^-ass
Y(s)=20s2(s^2+4) + k2,e^-ass(s^2+4)=10ss^2+4+k2cdote^-ass(s^2+4)

Passo 3

Para inverter a segunda parcela, fazemos frações parciais em 1/[s(s²+4)]:
1s(s^2+4)=14cdot1s-14cdotss^2+4

Passo 4

Logo L^{-1}{1/[s(s²+4)]}=\tfrac14(1−cos(2t)), e com deslocamento se torna h(t−a),\tfrac14[1−cos(2(t−a))]. Multiplicando por k/2 dá (k/8)[1−cos(2(t−a))]h(t−a).
A primeira parcela L^{-1}{10s/(s²+4)}=10 cos(2t). Somando, a solução é
y(t)=10cos(2t)+k8l(1-cosl(2(t-a)r)r),h(t-a)

Resposta

y(t)=10cos(2t)+k8l(1-cosl(2(t-a)r)r),h(t-a)

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