Para
constante, encontre a solução de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento por um degrau deslocado: 2 y’’(t)+8 y(t)=k h(t−a), com y(0)=10 e y’(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento para lidar com h(t−a).
Passo 2
Aplicando Laplace em ambos os lados, lembrando que L{y’’}=s²Y(s)−s y(0)−y’(0) e L{h(t−a)}=e^{−a s}/s, obtemos: 2[s²Y(s)−10s] + 8Y(s) = k e^{−a s}/s. Agrupando termos,
Passo 3
Para inverter a segunda parcela, fazemos frações parciais em 1/[s(s²+4)]:
Passo 4
Logo L^{-1}{1/[s(s²+4)]}=\tfrac14(1−cos(2t)), e com deslocamento se torna h(t−a),\tfrac14[1−cos(2(t−a))]. Multiplicando por k/2 dá (k/8)[1−cos(2(t−a))]h(t−a).
A primeira parcela L^{-1}{10s/(s²+4)}=10 cos(2t). Somando, a solução é
A primeira parcela L^{-1}{10s/(s²+4)}=10 cos(2t). Somando, a solução é