Faça o gráfico de
e calcule
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Passo 1
O exercício pede o gráfico de f(t)=|sen(ωt)| e sua transformada de Laplace. O conteúdo envolve funções periódicas e uso da fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
O gráfico de f(t)=|sen(ωt)| é obtido a partir de sen(ωt), mas tomando-se apenas a parte não negativa. Como sen(ωt) oscila entre –1 e 1 com período T=2π/ω, |sen(ωt)| tem período π/ω e exibe meia-seno positiva em cada intervalo de comprimento π/ω.
Passo 3
Para calcular $\mathcal{L}{f(t)}$ usamos a fórmula para função periódica de período T: \
$
Aqui T=π/ω.
Entre 0 e T=π/ω temos sen(ωt)≥0, logo $,|sen(ωt)| = sen(ωt) I = \int_{0}^{\pi/\omega} e^{-st} sen(ωt) , dt.$$ Fazendo a mudança de variável u=ωt (dt=du/ω) e definindo a=s/ω, vem
Entre 0 e T=π/ω temos sen(ωt)≥0, logo $,|sen(ωt)| = sen(ωt)
$$ I = \frac{1}{ω} \int_{0}^{\pi} e^{-a u} sen(u) , du.$$ A integral \(\int_{0}^{\pi} e^{-a u} sen(u) , du)\ pode ser feita por partes ou lembrando o resultado padrão, que dá
$$ \int_{0}^{\pi} e^{-a u} sen(u) , du = \frac{1 + e{-a\pi}}{a2 + 1}.$$ Assim
$$ I = \frac{1}{ω} \cdot \frac{1 + e{-s\pi/ω}}{(s/ω)2 + 1} = \frac{ω}{s^2 + ω^2} , (1 + e^{-s\pi/ω}).$$
Passo 4
Finalmente, aplicando a fórmula da transformada periódica:
$
Reconhecendo $(1+e{-a})/(1-e{-a}) = coth(a/2)$, obtemos a forma mais compacta.
Reconhecendo $(1+e{-a})/(1-e{-a}) = coth(a/2)$, obtemos a forma mais compacta.
Resposta
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