Suponha que f seja uma função derivável e que 4 <= f^prime(x) <= 8, forall x. Mostre que
20 <= f(6)-f(1) <= 40

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função derivável f tais que 4 <= f'(x) <= 8 para todo x. Precisamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para estimar a variação f(6)-f(1).

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como f é derivável (logo contínua),
f(6)-f(1)=integral1^6f'(x),dx

Passo 3

E como em todo o intervalo [1,6] vale 4<= f'(x)<= 8, podemos comparar com integrais de constantes:
integral1^64,dx <= integral1^6f'(x),dx <= integral1^68,dx

Passo 4

Calculando as integrais constantes:
integral1^64,dx =4cdot(6-1)=20 e integral1^68,dx =8cdot(6-1)=40,
logo obtemos
20 <= f(6)-f(1) <= 40

Resposta

20 \le f(6)-f(1) \le 40

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