Se a é uma constante, então o cosseno hiperbólico de at é
cosh a t=e^a t+e^-a t2
Determine a transformada de Laplace dessa função em uma única fração.

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada de Laplace da função cosh(at)=e^at+e^-at2. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar a definição de que Le^kt(s)=1s-k.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a transformada de cada termo exponencial usando a linearidade. Sabemos que
Le^at(s)=1s-a, Le^-at(s)=1s+a

Passo 3

Em seguida, observamos que cosh(at) é a média dessas duas exponenciais. Logo,
Lcosh(at)(s)=12l(1s-a+1s+ar)

Passo 4

Agora, vamos juntar essas duas frações em um único denominador. O denominador comum é $ (s-a)(s+a)=s2-a2 $, e o numerador é $ (s+a)+(s-a)=2s $. Então temos:
(s-a)(s+a)=s^2-a^2

Passo 5

Por fim, simplificamos o 2 que aparece no numerador com o tfrac12, ficando
ss^2-a^2

Resposta

ss^2 - a^2

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