Um sistema massa-mola sem força externa é composto por uma massa de 1 kg , uma mola com constante de elasticidade igual
em um meio em que a constante de amortecimento é igual a 2 N.s/m. Determine:
O que ocorre com a solução quando
.
O que ocorre com a solução quando
Passo 1
O enunciado pede para analisar o comportamento assintótico da solução do sistema massa-mola-amortecedor homogêneo sem força externa, com massa
, constante elástica
e amortecimento
. Vamos usar teoria de equações diferenciais de 2º ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
O modelo matemático do sistema é dado pela equação diferencial homogênea
onde substituímos
Passo 3
Para resolver, montamos a equação característica associada:
Passo 4
Observamos que o polinômio fatoriza como
, ou seja, temos uma raiz dupla
. Isso indica amortecimento crítico.
Passo 5
A solução geral para raiz dupla é
Passo 6
onde
e
dependem das condições iniciais.
Para , o fator exponencial
domina e faz com que
(e também
). Portanto, independentemente das constantes
e
, a solução decai para zero.
Para
Passo 7
Concluímos que o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações e se estabiliza em repouso.
Resposta
A solução decai exponencialmente para zero quando
, ou seja,
(amortecimento crítico).