Um sistema massa-mola sem força externa é composto por uma massa de 1 kg , uma mola com constante de elasticidade igual 1 N / m em um meio em que a constante de amortecimento é igual a 2 N.s/m. Determine:
O que ocorre com a solução quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o comportamento assintótico da solução do sistema massa-mola-amortecedor homogêneo sem força externa, com massa m=1, constante elástica k=1 e amortecimento c=2. Vamos usar teoria de equações diferenciais de 2º ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

O modelo matemático do sistema é dado pela equação diferencial homogênea
m,x''(t) + c,x'(t) + k,x(t) = 0,
onde substituímos m=1, c=2 e k=1, obtendo
x''(t) + 2x'(t) + x(t) = 0

Passo 3

Para resolver, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 4

Observamos que o polinômio fatoriza como (r+1)^2=0, ou seja, temos uma raiz dupla r=-1. Isso indica amortecimento crítico.

Passo 5

A solução geral para raiz dupla é
x(t) = (C1 + C2,t)e^-t,

Passo 6

onde C1 e C2 dependem das condições iniciais.
Para t to infty, o fator exponencial e^-t domina e faz com que x(t)to 0 (e também x'(t)to 0). Portanto, independentemente das constantes C1 e C2, a solução decai para zero.

Passo 7

Concluímos que o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilações e se estabiliza em repouso.

Resposta

A solução decai exponencialmente para zero quando ttoinfty, ou seja, x(t)to0 (amortecimento crítico).

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