Calcule:
integral sen(x) cos ^4(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin(x),cos^4(5x),dx. O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas de redução de potência e produto-para-soma para integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, recorremos à identidade de redução de potência:
cos^4theta = 3 + 4cos(2theta) + cos(4theta)8
Aplicando em theta = 5x, temos:
cos^4(5x) = 3 + 4cos(10x) + cos(20x)8
Logo a integral vira
integral sin(x),cos^4(5x),dx = 18integral l[3sin x + 4sin xcos(10x) + sin xcos(20x)r]dx

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  1. 18integral 3sin x,dx = 38(-cos x) = -38cos x
  2. Para 18integral 4sin xcos(10x),dx = 12integral sin xcos(10x),dx, usamos
sin xcos(10x) = 12l[sin(11x) - sin(9x)r]
Logo
$$\frac12\int \sin x\cos(10x),dx = \frac12 \cdot \frac12\int \bigl[\sin(11x)-\sin(9x)\bigr]dx
= \frac14\Bigl(-\frac{\cos(11x)}{11} + \frac{\cos(9x)}9\Bigr). 12integral sin xcos(10x),dx = 12 cdot 12integral l[sin(11x)-sin(9x)r]dx = 14l(-cos(11x)11 + cos(9x)9r)\sin x\cos(20x)=\frac12\bigl[\sin(21x)-\sin(19x)\bigr]$$
Logo
18integral sin xcos(20x),dx = 18integral sin xcos(20x),dx

Passo 4

Somando tudo e lembrando da constante +C:
integral sin(x)cos^4(5x),dx = -38cos x - cos(11x)44 + cos(9x)36 - cos(21x)336 + cos(19x)304 + C

Resposta

-\frac{3}{8}\cos x - \frac{\cos(11x)}{44} + \frac{\cos(9x)}{36} - \frac{\cos(21x)}{336} + \frac{\cos(19x)}{304} + C

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