Qual é a constante de fase phi, na equação
x(t)=A cos (omega t+phi)
se em t=0, (a) x(0)=0 e (b) x(0)=A / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ e precisa encontrar a constante de fase $ \phi $. O que isso significa? Basicamente, $ \phi $ determina onde a onda começa no tempo $ t = 0 $. Para resolver isso, vamos usar as condições dadas: (a) $ x(0) = 0 $ e (b) $ x(0) = \frac{A}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece na equação quando $ t = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação, temos:
t = 0
Isso simplifica as coisas porque $ \omega t $ se torna zero, deixando só $ \phi $.

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (a): $ x(0) = 0 $. Substituindo na equação que obtivemos:
x(0) = 0
Como $ A $ é a amplitude e não é zero, para que o produto seja zero, $ \cos(\phi) $ deve ser zero.

Passo 4

Então, precisamos encontrar valores de $ \phi $ onde $ \cos(\phi) = 0 $. Sabemos que o cosseno é zero em:
phi é
Então, $ \phi $ pode ser $ \frac{\pi}{2} $, $ \frac{3\pi}{2} $, etc.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): $ x(0) = \frac{A}{2} $. Substituindo na equação:
x(0) = A2
Dividindo os dois lados por $ A $:
A2 = A cos(phi)

Passo 6

Precisamos encontrar $ \phi $ onde $ \cos(\phi) = \frac{1}{2} $. Sabemos que isso ocorre em:
phi é
Então, $ \phi $ pode ser $ \frac{\pi}{3} $ ou $ \frac{5\pi}{3} $ dentro de um intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Resposta

(a) $ \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi $ para qualquer inteiro $ k $;
(b) $ \phi = \frac{\pi}{3} $ ou $ \phi = \frac{5\pi}{3} $ mais múltiplos de $ 2\pi $.

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