Qual é a constante de fase
, na equação
se em
, (a)
e (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $ e precisa encontrar a constante de fase $ \phi $. O que isso significa? Basicamente, $ \phi $ determina onde a onda começa no tempo $ t = 0 $. Para resolver isso, vamos usar as condições dadas: (a) $ x(0) = 0 $ e (b) $ x(0) = \frac{A}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece na equação quando $ t = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação, temos:
Isso simplifica as coisas porque $ \omega t $ se torna zero, deixando só $ \phi $.
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte (a): $ x(0) = 0 $. Substituindo na equação que obtivemos:
Como $ A $ é a amplitude e não é zero, para que o produto seja zero, $ \cos(\phi) $ deve ser zero.
Passo 4
Então, precisamos encontrar valores de $ \phi $ onde $ \cos(\phi) = 0 $. Sabemos que o cosseno é zero em:
Então, $ \phi $ pode ser $ \frac{\pi}{2} $, $ \frac{3\pi}{2} $, etc.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): $ x(0) = \frac{A}{2} $. Substituindo na equação:
Dividindo os dois lados por $ A $:
Passo 6
Precisamos encontrar $ \phi $ onde $ \cos(\phi) = \frac{1}{2} $. Sabemos que isso ocorre em:
Então, $ \phi $ pode ser $ \frac{\pi}{3} $ ou $ \frac{5\pi}{3} $ dentro de um intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Resposta
(a) $ \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi $ para qualquer inteiro $ k $;
(b) $ \phi = \frac{\pi}{3} $ ou $ \phi = \frac{5\pi}{3} $ mais múltiplos de $ 2\pi $.
(b) $ \phi = \frac{\pi}{3} $ ou $ \phi = \frac{5\pi}{3} $ mais múltiplos de $ 2\pi $.