Qual é a constante de fase phi, na equação
x(t)=A cos (omega t+phi)
se em t=0, x(0)=A / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos: a equação do movimento é
x(t) = A cosl(omega t + phir)
e o enunciado diz que, no instante , o deslocamento vale .
Isso é um problema de achar a fase inicial de uma função cosseno—ou seja, conteúdo de “fase em funções trigonométricas”. Para resolver, vamos usar propriedades do cosseno e as identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, avaliamos a expressão em x(0) = A cosl(omegacdot 0 + phir) = A cos(phi) :
A cos(phi) = A2
Pelo enunciado, isso tem de ser igual a cos(phi) = 12 . Logo:
Agora podemos simplificar, dividindo os dois lados por (pressupondo ):

Passo 3

Qual ângulo tem cosseno igual a cosl(tfracpi3r) = tfrac12 ? Na trigonometria básica, sabemos que
Mas o cosseno também fica em outro ponto do círculo trigonométrico, que é considerando giro negativo, e de forma geral a gente adiciona para cobrir todas as voltações completas.

Passo 4

Concluímos, então, que as soluções para phi = pm pi3 + 2pi k, k in Z são
Isso significa que a fase inicial pode ser , , ou essas mesmas mais qualquer múltiplo inteiro de .

Resposta

boxedphi = pm pi3 + 2pi k, kinZ

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