O que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear? Como essa propriedade se relaciona com o princípio de superposição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar o que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear e como isso casa com o princípio de superposição. Isso é teoria de Mecânica Quântica, mais especificamente sobre operadores lineares e soluções de equações diferenciais lineares, e vamos precisar lembrar que se um operador é linear, combinações de soluções também são soluções, ok?
Passo 2
Antes de tudo, “linearidade” em matemática significa que um operador
satisfaz
para quaisquer funções (ou vetores)
,
e escalares
,
.
Na equação de Schrödinger dependente do tempo, a gente escreve:
Na equação de Schrödinger dependente do tempo, a gente escreve:
onde
é o operador Hamiltoniano.
- A derivada
é linear: - O Hamiltoniano
também é linear:
Como ambos os lados da equação são ações de operadores lineares, a equação total é linear.
Passo 3
Agora, por que isso é importante? Se
e
são soluções da equação de Schrödinger, ou seja
então, usando a linearidade, a combinação
também satisfaz
Isso é exatamente o princípio de superposição: qualquer combinação linear de estados quânticos válidos é outro estado válido.
Resposta
Dizer que a equação de Schrödinger é linear significa que os operadores de derivada temporal e o Hamiltoniano obedecem
. Dessa forma, se
e
são soluções, qualquer combinação
também é solução. Essa propriedade é justamente o princípio de superposição na mecânica quântica.