O que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear? Como essa propriedade se relaciona com o princípio de superposição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar o que significa dizer que a equação de Schrödinger é linear e como isso casa com o princípio de superposição. Isso é teoria de Mecânica Quântica, mais especificamente sobre operadores lineares e soluções de equações diferenciais lineares, e vamos precisar lembrar que se um operador é linear, combinações de soluções também são soluções, ok?

Passo 2

Antes de tudo, “linearidade” em matemática significa que um operador Ll(a,u + b,vr) = a,L(u) + b,L(v) satisfaz
ihbar,partialpartial t,psi(x,t) ;=;H,psi(x,t),,
para quaisquer funções (ou vetores) partialpartial tl(apsi1 + bpsi2r) = a,partial psi1partial t + b,partial psi2partial t , Hl(apsi1 + bpsi2r) = a,Hpsi1 + b,Hpsi2 e escalares , .
Na equação de Schrödinger dependente do tempo, a gente escreve:
onde é o operador Hamiltoniano.
  1. A derivada é linear:
  2. O Hamiltoniano também é linear:
Como ambos os lados da equação são ações de operadores lineares, a equação total é linear.

Passo 3

Agora, por que isso é importante? Se ihbar,partialpsi1partial t = Hpsi1 e ihbar,partialpsi2partial t = Hpsi2, e psi = a,psi1 + b,psi2 são soluções da equação de Schrödinger, ou seja
ihbar,partialpsipartial t = ihbar,l(a,tfracpartialpsi1partial t+b,tfracpartialpsi2partial tr) = a,Hpsi1 + b,Hpsi2 = H(a,psi1+b,psi2) = H,psi
então, usando a linearidade, a combinação
também satisfaz
Isso é exatamente o princípio de superposição: qualquer combinação linear de estados quânticos válidos é outro estado válido.

Resposta

Dizer que a equação de Schrödinger é linear significa que os operadores de derivada temporal e o Hamiltoniano obedecem
. Dessa forma, se e são soluções, qualquer combinação também é solução. Essa propriedade é justamente o princípio de superposição na mecânica quântica.

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