Constante de mola variável. Quando uma mola é aquecida, sua & 2 x^prime prime(t)+x^prime(t)+(6-t) x(t)=0 ; & x(0)=3 , x^prime(0)=0
Encontre pelo menos os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de t=0 para o deslocamento.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos a equação de segunda ordem com coeficiente dependente de t 2x''(t)+x'(t)+(6-t)x(t)=0 e condições iniciais x(0)=3, x'(0)=0. O conteúdo é o método de séries de potências em torno de t=0.

Passo 2

Solução em série: supomos x(t)=sumn=0^infty an t^n e queremos determinar os coeficientes an.

Passo 3

Derivadas em série: escrevemos
x'(t)=sumn=1^infty n an t^n-1 e x''(t)=sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2.

Passo 4

Substituição na EDO e agrupamento em potências de t^k leva, ao igualar coeficientes, a
para k=0: 4a2 + a1 +6a0=0;
para k>=1: 2(k+2)(k+1)ak+2+(k+1)ak+1+6ak-ak-1=0.

Passo 5

Condições iniciais e primeiros coeficientes: de x(0)=3 vem a0=3; de x'(0)=0 vem a1=0. Da equação para k=0 temos a2=-9/2. Pela recorrência achamos a3=1 e a4=1.

Passo 6

Quatro primeiros termos não nulos da série: a0=3, a2=-9/2, a3=1, a4=1, logo
x(t)=3 - tfrac92t^2 + t^3 + t^4 + dots.

Resposta

x(t)=3 - 92t^2 + t^3 + t^4 + dots

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