Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)=
em pede a série trigonométrica de Fourier no intervalo de período 2\pi. Para isso, vamos usar as fórmulas dos coeficientes ,
e
.
f(x)=
em pede a série trigonométrica de Fourier no intervalo de período 2\pi. Para isso, vamos usar as fórmulas dos coeficientes
Passo 2
O coeficiente
corresponde ao termo constante. Pela definição, temos
Como
em
e
em
, só integramos
:
Logo
Passo 3
Para os coeficientes
, usamos a definição
Aplicando a identidade trigonométrica
e integrando de 0 a
, chega-se a
Portanto
Isso implica que
para
ímpar e, para
,
Passo 4
Para
, a definição é
Usando identidades ou ortogonalidade, obtém-se
Logo
Passo 5
Montamos então a série de Fourier:
Substituindo os valores de
,
e
, temos