Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=cc0, & -pi <= x <= 0 sen x, & 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= 0,&-pi<= x<=0sin x,&0<= x<=pi
em pede a série trigonométrica de Fourier no intervalo de período 2\pi. Para isso, vamos usar as fórmulas dos coeficientes a0, an e bn.

Passo 2

O coeficiente a0 corresponde ao termo constante. Pela definição, temos
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx
Como f(x)=0 em [-pi,0] e f(x)=sin x em [0,pi], só integramos sin x:
integral0^pisin x,dx=[-cos x]0^pi=2
Logo
a0=2pi

Passo 3

Para os coeficientes an, usamos a definição
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =1piintegral0^pisin xcos(nx),dx
Aplicando a identidade trigonométrica
sin xcos(nx)=tfrac12l[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)r]
e integrando de 0 a pi, chega-se a
integral0^pisin xcos(nx),dx=(-1)^n+1-1n^2-1
Portanto
an=(-1)^n+1-1pi(n^2-1)
Isso implica que an=0 para n ímpar e, para n=2k,
a2k=-2pi(4k^2-1)

Passo 4

Para bn, a definição é
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx =1piintegral0^pisin xsin(nx),dx
Usando identidades ou ortogonalidade, obtém-se
integral0^pisin xsin(nx),dx=pi2,&n=10,&nne1
Logo
b1=tfrac12, bn=0 (nne1)

Passo 5

Montamos então a série de Fourier:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)
Substituindo os valores de a0, an e bn, temos
f(x)=1pi-2pisumk=1^inftycos(2kx)4k^2-1+12sin x

Resposta

f(x)=1pi-2pisumk=1^inftycos(2k x)4k^2-1+12sin x

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