1(b) A constante de velocidade da decomposição de certo composto é de 2,25 \times 10-2 \mathrm{dm} 3 \mathrm{~mol}-1 \mathrm{~s}-1 a 29^{\circ} \mathrm{C} e 4,01 \times 10-2 \mathrm{dm} 3 \mathrm{~mol}-1 \mathrm{~s}-1 a 37^{\circ} \mathrm{C}. Estime os parâmetros de Arrhenius da reação.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime os parâmetros de Arrhenius da reação, a partir de duas constantes de velocidade medidas em duas temperaturas diferentes. Dados fornecidos:
k_1 = 2,25\times 10^{-2}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}\\ \text{a}\\\ 29^\circ\mathrm{C},
k_2 = 4,01\times 10^{-2}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}\\ \text{a}\\\ 37^\circ\mathrm{C}.
O que preciso encontrar: o parâmetro de ativação E_a e o fator pré-exponencial A da expressão de Arrhenius.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona constante de velocidade e temperatura (a que o enunciado quer que a gente use):
k = A \,\mathrm{e}^{-E_a/(R\,T)}.
Explicando cada termo com calma:
  • k é a constante de velocidade (aqui com unidades \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1});
  • A é o fator pré-exponencial (tem as mesmas unidades de k);
  • E_a é a energia de ativação (unidade de energia por mol, normalmente \mathrm{J\,mol^{-1}});
  • R é a constante dos gases ideais; vou usar \displaystyle R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Dica prática: para estimar E_a com dois pontos, a forma mais direta é tomar logaritmo natural e subtrair as duas expressões para eliminar A.

Passo 3

Faço a linearização e a fórmula de dois pontos. Tomando ln em ambos os lados:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Subtraindo as duas equações (para (k_1,T_1) e (k_2,T_2)) obtém-se:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Isolando E_a:
E_a = -R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.
Observação: a razão dos sinais normalmente resulta em E_a positivo (porque k aumenta com T).

Passo 4

Converto as temperaturas de Celsius para Kelvin (passo obrigatório):
T_1 = 29^\circ\mathrm{C} = 29 + 273 = 302\\ \mathrm{K},
T_2 = 37^\circ\mathrm{C} = 37 + 273 = 310\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calculo a razão \ln(k_2/k_1) e a diferença de inversos de temperatura, explicando cada conta:
Primeiro a razão:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{4,01\times10^{-2}}{2,25\times10^{-2}}= \frac{4,01}{2,25}=1{,}782222\ldots
Logo
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\ln(1{,}782222\ldots)\approx 0{,}5779.
Agora a diferença de inversos:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{310}-\frac{1}{302}=\frac{302-310}{302\cdot310}=\frac{-8}{93620}\approx -8{,}5451\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
(Escolhi apresentar \frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} porque é a forma que entra diretamente na fórmula anterior.)

Passo 6

Calculo de E_a usando os valores numéricos:
E_a = -R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.
Substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, \ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)\approx 0{,}5779 e \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\approx -8{,}5451\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}:
E_a = -8{,}314\cdot\frac{0{,}5779}{-8{,}5451\times10^{-5}}.
Os sinais negativos se cancelam; agora eu calculo numericamente passo a passo:
8{,}314\times 0{,}5779 \approx 4{,}8046\\ (\text{unidade: J mol}^{-1}),
\frac{4{,}8046}{8{,}5451\times10^{-5}} \approx 5,624\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Portanto, em unidades mais usuais:
E_a \approx 5,62\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 56{,}2\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 7

Agora calculo o fator pré-exponencial A. Da equação de Arrhenius isolamos A:
A = k\,\mathrm{e}^{E_a/(R\,T)}.
Posso usar qualquer dos pontos; uso (k_1,T_1) para consistência. Substituindo:
A = k_1\exp\!\left(\frac{E_a}{R\,T_1}\right).
Com k_1=2{,}25\times10^{-2}, E_a=5,624\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}, R=8{,}314 e T_1=302\\ \mathrm{K}:
Calculo o expoente:
\frac{E_a}{R\,T_1}=\frac{5,624\times10^{4}}{8{,}314\cdot302}\approx\frac{56240}{2510{,}8}\approx 22{,}40.
Então
\exp(22{,}40)\approx 5{,}345\times10^{9}.
Multiplicando por k_1:
A \approx 2{,}25\times10^{-2}\times 5{,}345\times10^{9}\approx 1{,}20\times10^{8}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}.
Comentário amigo: esse número grande é normal — em reações bimoleculares o A costuma ser grande porque as colisões eficazes são muitas.

Passo 8

Arredondando com consistência significativa (3 algarismos para cada parâmetro) e reunindo unidades:
E_a \approx 5{,}62\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \quad (\text{ou }56{,}2\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}),
A \approx 1{,}20\times10^{8}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

E_a \approx 5{,}62\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (ou 56{,}2\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}})
A \approx 1{,}20\times10^{8}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{s}^{-1}

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