Deduza a forma integrada da cinética de terceira ordem v=k[A] 2[B], para uma reação com a estequiometria 2 \mathrm{~A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{P}. No instante inicial, os reagentes estão na proporção estequiométrica

Passo 1

O enunciado pede que a gente deduza a forma integrada da lei de velocidade para a reação com estequiometria 2\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow\mathrm{P}, sabendo que a lei diferencial da velocidade é
v = k [\mathrm{A}]^{2} [\mathrm{B}].
Informações relevantes dadas:
\text{(i)}\; \text{Velocidade: } v = k [\mathrm{A}]^{2} [\mathrm{B}].
\text{(ii)}\; \text{Estequiometria: } 2\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow\mathrm{P}.
\text{(iii)}\; \text{No instante inicial, os reagentes estão na proporção estequiométrica (isto é, }[\mathrm{A}]_{0}=2[\mathrm{B}]_{0}\text{).}ãçãéé
O objetivo é obter expressões de [\mathrm{A}](t) e [\mathrm{B}](t) integradas no tempo, usando as condições iniciais acima.

Passo 2

Relacione o ritmo de reação v com as derivadas temporais das concentrações usando a estequiometria. Regra geral: para a reação
a\mathrm{A}+b\mathrm{B}\rightarrow \cdots
temos
v=-\frac{1}{a}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=-\frac{1}{b}\frac{d[\mathrm{B}]}{dt}=\frac{d[\mathrm{P}]}{dt}.
No nosso caso a=2 e b=1, logo
v=-\frac{1}{2}\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=-\frac{d[\mathrm{B}]}{dt}.
Isto significa que podemos escrever a equação de velocidade diferencial como uma equação diferencial para [\mathrm{B}](t) (ou para [\mathrm{A}](t)).

Passo 3

Mostre que, por estar no início na proporção estequiométrica, as concentrações permanecem proporcionais durante a reação. Use o avanço de reação x(t):
[\mathrm{A}](t)=[\mathrm{A}]_{0}-2x(t),
[\mathrm{B}](t)=[\mathrm{B}]_{0}-x(t).
Como [\mathrm{A}]_{0}=2[\mathrm{B}]_{0}, substituindo obtemos
[\mathrm{A}](t)=2[\mathrm{B}]_{0}-2x(t)=2\bigl([\mathrm{B}]_{0}-x(t)\bigr)=2[\mathrm{B}](t).
Portanto, durante toda a reação vale a relação simples
[\mathrm{A}](t)=2[\mathrm{B}](t).
Essa é a grande simplificação: podemos eliminar uma variável.

Passo 4

Substitua [\mathrm{A}]=2[\mathrm{B}] na lei de velocidade. Como v=-\dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt}, temos
-\frac{d[\mathrm{B}]}{dt}=k\,[\mathrm{A}]^{2}[\mathrm{B}]=k\,(2[\mathrm{B}])^{2}[\mathrm{B}]=4k\,[\mathrm{B}]^{3}.
Logo a equação diferencial para [\mathrm{B}] é
\frac{d[\mathrm{B}]}{dt}=-4k\,[\mathrm{B}]^{3}.

Passo 5

Separe variáveis para integrar (método de separação de variáveis). Coloque todos os termos com [\mathrm{B}] num lado e dt no outro:
\frac{d[\mathrm{B}]}{[\mathrm{B}]^{3}}=-4k\,dt.
Aqui a ideia é tratar [\mathrm{B}] como variável de integração e t como variável independente; isso permite integrar ambos os lados.

Passo 6

Integre dos valores iniciais aos valores em tempo t. Usamos limites [\mathrm{B}](0)=[\mathrm{B}]_{0} e [\mathrm{B}](t)=[\mathrm{B}]:
\int_{[\mathrm{B}]_{0}}^{[\mathrm{B}]} \frac{dB}{B^{3}} = \int_{0}^{t} -4k\,dt.
Calcule a primitiva do lado esquerdo: \displaystyle \int B^{-3} dB = -\tfrac{1}{2}B^{-2}. Aplicando os limites:
\Bigl[-\tfrac{1}{2}B^{-2}\Bigr]_{[\mathrm{B}]_{0}}^{[\mathrm{B}]} = -4k\,t.
Isto dá
-\tfrac{1}{2}[\mathrm{B}]^{-2} + \tfrac{1}{2}[\mathrm{B}]_{0}^{-2} = -4k\,t.

Passo 7

Resolva algebricamente para [\mathrm{B}]^{-2}. Multiplicando ambos os lados por -2 obtemos
[\mathrm{B}]^{-2} - [\mathrm{B}]_{0}^{-2} = 8k\,t.
Portanto
[\mathrm{B}]^{-2} = [\mathrm{B}]_{0}^{-2} + 8k\,t.
Tome a raiz quadrada do inverso para obter [\mathrm{B}](t). Uma forma conveniente é fatorar [\mathrm{B}]_{0}^{-2}:
[\mathrm{B}]^{-2} = [\mathrm{B}]_{0}^{-2}\bigl(1+8k\,t\,[\mathrm{B}]_{0}^{2}\bigr).
Daí
[\mathrm{B}](t)=\frac{[\mathrm{B}]_{0}}{\sqrt{1+8k\,t\,[\mathrm{B}]_{0}^{2}}}.

Passo 8

Use a relação [\mathrm{A}](t)=2[\mathrm{B}](t) para obter [\mathrm{A}](t). Assim
[\mathrm{A}](t)=\frac{2[\mathrm{B}]_{0}}{\sqrt{1+8k\,t\,[\mathrm{B}]_{0}^{2}}}.
Se preferir expressar em termos de [\mathrm{A}]_{0}=2[\mathrm{B}]_{0}, observe que
8k\,t\,[\mathrm{B}]_{0}^{2}=8k\,t\left(\frac{[\mathrm{A}]_{0}}{2}\right)^{2}=2k\,t\,[\mathrm{A}]_{0}^{2},
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[\mathrm{A}](t)=\frac{[\mathrm{A}]_{0}}{\sqrt{1+2k\,t\,[\mathrm{A}]_{0}^{2}}}.
Ambas as formas estão corretas e são equivalentes via [\mathrm{A}]_{0}=2[\mathrm{B}]_{0}.

Resposta

[ \mathrm{B} ](t)=\dfrac{[ \mathrm{B} ]_{0}}{\sqrt{1+8k\,t\,[ \mathrm{B} ]_{0}^{2}}}\n [ \mathrm{A} ](t)=\dfrac{[ \mathrm{A} ]_{0}}{\sqrt{1+2k\,t\,[ \mathrm{A} ]_{0}^{2}}}

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