Deduza a forma integrada da cinética de terceira ordem
, para uma reação com a estequiometria
. No instante inicial, os reagentes estão na proporção estequiométrica
Passo 1
O enunciado pede que a gente deduza a forma integrada da lei de velocidade para a reação com estequiometria
, sabendo que a lei diferencial da velocidade é
Informações relevantes dadas:
O objetivo é obter expressões de
e
integradas no tempo, usando as condições iniciais acima.
Passo 2
Relacione o ritmo de reação
com as derivadas temporais das concentrações usando a estequiometria. Regra geral: para a reação
temos
No nosso caso
e
, logo
Isto significa que podemos escrever a equação de velocidade diferencial como uma equação diferencial para
(ou para
).
Passo 3
Mostre que, por estar no início na proporção estequiométrica, as concentrações permanecem proporcionais durante a reação. Use o avanço de reação
:
Como
, substituindo obtemos
Portanto, durante toda a reação vale a relação simples
Essa é a grande simplificação: podemos eliminar uma variável.
Passo 4
Substitua
na lei de velocidade. Como
, temos
Logo a equação diferencial para
é
Passo 5
Separe variáveis para integrar (método de separação de variáveis). Coloque todos os termos com
num lado e
no outro:
Aqui a ideia é tratar
como variável de integração e
como variável independente; isso permite integrar ambos os lados.
Passo 6
Integre dos valores iniciais aos valores em tempo
. Usamos limites
e
:
Calcule a primitiva do lado esquerdo:
. Aplicando os limites:
Isto dá
Passo 7
Resolva algebricamente para
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Portanto
Tome a raiz quadrada do inverso para obter
. Uma forma conveniente é fatorar
:
Daí
Passo 8
Use a relação
para obter
. Assim
Se preferir expressar em termos de
, observe que
logo
Ambas as formas estão corretas e são equivalentes via
.