- A constante de velocidade de primeira ordem da fotodissociação de A é
. Calcule o tempo necessário para que a concentração de A caia até (a) 25% do valor inicial; (b) um sexto do valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá a constante de velocidade e pede dois tempos diferentes. Informações fornecidas:
- Constante de velocidade:
. - Perguntas:
(a) tempo necessário para a concentração decair até do valor inicial, ou seja até ;
(b) tempo necessário para a concentração decair até do valor inicial, ou seja até .
Passo 2
Para relembrar e entender direitinho: em processos de primeira ordem a variação da concentração segue a equação diferencial
onde:
-
é a concentração da espécie no tempo ; -
é a constante de velocidade (aqui em ); - o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Para resolver essa equação separamos variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados entre o instante inicial
(com
) e um tempo
qualquer (com
) obtemos a forma integrada:
Essa fórmula diz como a fração
depende do tempo. Ela é muito prática para a prova porque permite resolver para
isolando:
Aqui:
-
é o logaritmo natural; -
é a fração do valor inicial que resta.
Prontinho — agora é só aplicar essa fórmula para cada fração pedida.
Passo 3
Parte (a): queremos
.
Aplicando a fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Portanto
Fazendo a divisão e escrevendo em notação científica:
Para dar uma noção melhor do tempo: convertendo para anos (usando
):
Passo 4
Parte (b): queremos
.
Aplicando a fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Portanto
Fazendo a divisão e escrevendo em notação científica:
Convertendo para anos para termos intuição:
(Lembrete amigo: esses tempos gigantes mostram que com uma constante tão pequena a fotodissociação é extremamente lenta — por isso os números em minutos viram milhares de anos.)
Resposta
(a)
(b)
(b)