1. A constante de velocidade de primeira ordem da fotodissociação de A é 1,24 \times 10^{-9} \mathrm{~min}^{-1}. Calcule o tempo necessário para que a concentração de A caia até (a) 25% do valor inicial; (b) um sexto do valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá a constante de velocidade e pede dois tempos diferentes. Informações fornecidas:
  • Constante de velocidade: k = 1,24\times10^{-9}\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Perguntas:
    (a) tempo necessário para a concentração de A cair até 25\% do valor inicial, ou seja até \dfrac{[A]}{[A]_0}=0,25;
    (b) tempo necessário para a concentração de A cair até \dfrac{1}{6} do valor inicial, ou seja até \dfrac{[A]}{[A]_0}=\dfrac{1}{6}.

Passo 2

Para relembrar e entender direitinho: em processos de primeira ordem a variação da concentração segue a equação diferencial
\frac{d[A]}{dt} = -k\,[A],
onde:
  • [A] é a concentração da espécie A no tempo t;
  • k é a constante de velocidade (aqui em \mathrm{min}^{-1});
  • o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.
Para resolver essa equação separamos variáveis e integramos:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integrando ambos os lados entre o instante inicial t=0 (com [A]=[A]_0) e um tempo t qualquer (com [A]=[A](t)) obtemos a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k\,t.
Essa fórmula diz como a fração \dfrac{[A](t)}{[A]_0} depende do tempo. Ela é muito prática para a prova porque permite resolver para t isolando:
t = -\frac{1}{k}\,\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = \frac{1}{k}\,\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A](t)}\right).
Aqui:
  • \ln é o logaritmo natural;
  • \dfrac{[A](t)}{[A]_0} é a fração do valor inicial que resta.
Prontinho — agora é só aplicar essa fórmula para cada fração pedida.

Passo 3

Parte (a): queremos \dfrac{[A](t)}{[A]_0}=0,25.
Aplicando a fórmula:
t_a = -\frac{1}{k}\,\ln(0,25).
Calculando o logaritmo natural:
\ln(0,25)=\ln\!\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4)\approx -1,3862943611.
Portanto
t_a = -\frac{1}{1,24\times10^{-9}}\times(-1,3862943611) = \frac{1,3862943611}{1,24\times10^{-9}}\\ \mathrm{min}.
Fazendo a divisão e escrevendo em notação científica:
t_a \approx 1,12\times10^{9}\\ \mathrm{min}.
Para dar uma noção melhor do tempo: convertendo para anos (usando 1\\ \text{ano}\approx 525600\\ \mathrm{min}):
t_a \approx \frac{1,12\times10^{9}}{525600}\\ \text{anos} \approx 2127\\ \text{anos}.

Passo 4

Parte (b): queremos \dfrac{[A](t)}{[A]_0}=\dfrac{1}{6}\approx0,166666\ldots.
Aplicando a fórmula:
t_b = -\frac{1}{k}\,\ln\!\left(\frac{1}{6}\right).
Calculando o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{1}{6}\right) = -\ln(6)\approx -1,7917594692.
Portanto
t_b = -\frac{1}{1,24\times10^{-9}}\times(-1,7917594692) = \frac{1,7917594692}{1,24\times10^{-9}}\\ \mathrm{min}.
Fazendo a divisão e escrevendo em notação científica:
t_b \approx 1,45\times10^{9}\\ \mathrm{min}.
Convertendo para anos para termos intuição:
t_b \approx \frac{1,45\times10^{9}}{525600}\\ \text{anos} \approx 2749\\ \text{anos}.
(Lembrete amigo: esses tempos gigantes mostram que com uma constante tão pequena a fotodissociação é extremamente lenta — por isso os números em minutos viram milhares de anos.)

Resposta

(a) t \approx 1,12\times10^{9}\\ \mathrm{min} \approx 2127\\ \text{anos}
(b) t \approx 1,45\times10^{9}\\ \mathrm{min} \approx 2749\\ \text{anos}

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