A constante de velocidade de prin1eira ordem para a decomposição de determinado inseticida en1águaa 12 ^circ C é 1,45 ano ^-1. Certa quantidade desse inseticida é carregada pela água para um lago em 1^circ de junho, levando a uma concentração de 5,0 times 10^-7 g / cm^3 de água. Suponha que a temperatura média do lago seja 12 ^circ C. Quanto tempo levará para a concentração do inseticida cair para 3,0 times 10^-7 g / cm^3?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a decomposição do inseticida na água segue cinética de primeira ordem, com constante de velocidade k = 1,45 ano⁻¹ (à temperatura de 12 °C). Num dado momento (1º de junho) a concentração é
C₀ = 5,0×10⁻⁷ g/cm³
e queremos saber quanto tempo t levará para ela cair a
C = 3,0×10⁻⁷ g/cm³.
Conteúdo envolvido:
  • Cinética de primeira ordem
  • Equação integrada: C(t) = C₀ e^(–k t)
  • Uso de log natural para isolar t

Passo 2

Primeiro, a teoria: numa reação de primeira ordem, a velocidade de decomposição é proporcional à concentração C. A equação diferencial é
dC/dt = –k·C.
Integrando essa relação (não precisa decorar, mas vale lembrar o passo):
∫(dC/C) = –∫k dt
→ ln© – ln(C₀) = –k t
→ ln(C/C₀) = –k t
e daí surge a forma integrada clássica:
C(t) = C0 ,e^-k,t

Passo 3

Agora, isola o tempo t:
C(t) = C0,e^-k t Longrightarrow CC0 = e^-k t Longrightarrow ln!l(tfracCC0r) = -k,t Longrightarrow t = -1k,ln!l(tfracCC0r)
Como ln(C/C₀) = –ln(C₀/C), a gente costuma escrever:
t = 1k,ln!l(C0Cr)
Basta agora pôr os valores:
k = 1,45 ano⁻¹
C₀ = 5,0×10⁻⁷
C = 3,0×10⁻⁷
t = 11,45,ln!l(5,0times10^-73,0times10^-7r) = 11,45,ln!l(tfrac53r) approx 11,45times0,5108 approx 0,3523 ano

Resposta

t ≈ 0,35 ano (aproximadamente 128 dias, ou cerca de 4,2 meses).

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