A constante de velocidade de prin1eira ordem para a decomposição de determinado inseticida en1águaa
é 1,45 ano
. Certa quantidade desse inseticida é carregada pela água para um lago em
de junho, levando a uma concentração de
de água. Suponha que a temperatura média do lago seja
. Quanto tempo levará para a concentração do inseticida cair para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a decomposição do inseticida na água segue cinética de primeira ordem, com constante de velocidade k = 1,45 ano⁻¹ (à temperatura de 12 °C). Num dado momento (1º de junho) a concentração é
C₀ = 5,0×10⁻⁷ g/cm³
e queremos saber quanto tempo t levará para ela cair a
C = 3,0×10⁻⁷ g/cm³.
C₀ = 5,0×10⁻⁷ g/cm³
e queremos saber quanto tempo t levará para ela cair a
C = 3,0×10⁻⁷ g/cm³.
Conteúdo envolvido:
- Cinética de primeira ordem
- Equação integrada: C(t) = C₀ e^(–k t)
- Uso de log natural para isolar t
Passo 2
Primeiro, a teoria: numa reação de primeira ordem, a velocidade de decomposição é proporcional à concentração C. A equação diferencial é
dC/dt = –k·C.
Integrando essa relação (não precisa decorar, mas vale lembrar o passo):
∫(dC/C) = –∫k dt
→ ln© – ln(C₀) = –k t
→ ln(C/C₀) = –k t
e daí surge a forma integrada clássica:
dC/dt = –k·C.
Integrando essa relação (não precisa decorar, mas vale lembrar o passo):
∫(dC/C) = –∫k dt
→ ln© – ln(C₀) = –k t
→ ln(C/C₀) = –k t
e daí surge a forma integrada clássica:
Passo 3
Agora, isola o tempo t:
Como ln(C/C₀) = –ln(C₀/C), a gente costuma escrever:
Basta agora pôr os valores:
k = 1,45 ano⁻¹
C₀ = 5,0×10⁻⁷
C = 3,0×10⁻⁷
k = 1,45 ano⁻¹
C₀ = 5,0×10⁻⁷
C = 3,0×10⁻⁷
Resposta
t ≈ 0,35 ano (aproximadamente 128 dias, ou cerca de 4,2 meses).