As constantes críticas do etano são \underline{\mathrm{Pc}}=45,6 \mathrm{~atm} e \mathrm{Tc}=190,6 \mathrm{~K}. Calcule as constantes de van der Waals do gás. Determine o fator de compressibilidade para esse gás a 10 atm de pressão e 22^{\circ} \mathrm{C} e verifique se nessas condições o gás pode ser considerado ideal. R: a=2,26 \mathrm{atmL}^{2} / \mathrm{mol}^{2} ; b=0,043

Passo 1

O enunciado dá as constantes críticas do etano e pede para calcular as constantes de van der Waals e o fator de compressibilidade nessas condições. Dados fornecidos:
\mathrm{P_c}=45,6\\ \mathrm{atm} (peguei do enunciado) \n
\mathrm{T_c}=190,6\\ \mathrm{K} (peguei do enunciado) \n
Quer-se: as constantes a e b do modelo de van der Waals (unidades desejadas: a em \mathrm{atm\,L^{2}\,mol^{-2}} e b em \mathrm{L\,mol^{-1}}), e o fator de compressibilidade Z do etano à pressão \mathrm{P}=10\\ \mathrm{atm} e temperatura 22^\circ\mathrm{C}=295\\ \mathrm{K}. \n
Informação que vou usar (constante dos gases): \mathrm{R}=0,082057\\ \mathrm{L\;atm\;K^{-1}\;mol^{-1}}.

Passo 2

A ideia física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e diretas). O modelo de van der Waals corrige o gás ideal com duas constantes: a (correção da pressão por atração intermolecular) e b (volume ocupado pelas moléculas). A equação é:
\left(P+\frac{a}{V_m^2}\right)\,(V_m-b)=R\,T,
onde V_m é o volume molar ( \mathrm{L/mol}), P pressão, T temperatura, R a constante dos gases, e a,b as constantes que queremos. \n
No ponto crítico ocorre um ponto de inflexão na curva P vs V_m, o que matematicamente dá duas condições:
\left(\frac{\partial P}{\partial V_m}\right)_{T_c}=0 \quad\text{e}\quad \left(\frac{\partial^2 P}{\partial V_m^2}\right)_{T_c}=0.
Da equação de van der Waals, escrevemos P como função de V_m e T:
P=\frac{R\,T}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^2}.
Derivando e aplicando as condições acima (passo-passo curto): calcular as derivadas e impor V_{m,c}=V_c tal que ambas são zero. O resultado clássico (padrão em termodinâmica) dessas condições é:
V_c=3b,
P_c=\frac{a}{27\,b^2},
T_c=\frac{8a}{27\,R\,b}.
Vou usar essas três relações para obter a e b a partir de P_c e T_c.

Passo 3

Isolando b a partir de T_c e P_c. Da relação para T_c e P_c podemos eliminar a. Primeiro escrevo a a partir de P_c:
a=27\,P_c\,b^2.
Substituo em T_c=\dfrac{8a}{27Rb}:
T_c=\frac{8(27P_c b^2)}{27 R b}=\frac{8 P_c b}{R}.
Isolando b:
b=\frac{R\,T_c}{8\,P_c}.
Agora plugamos os valores numéricos (atenção às unidades; todos estão consistentes: P_c em atm, R em \mathrm{L\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}}, T_c em K, resultado em \mathrm{L/mol}):
b=\frac{0,082057\cdot 190,6}{8\cdot 45,6}.
Faço a conta passo a passo: \;0,082057\cdot 190,6=15,6400642. \;8\cdot 45,6=364,8. Portanto
b=\frac{15,6400642}{364,8}\approx 0,0429\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
b\approx 0,043\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.

Passo 4

Agora calculo a usando a=27P_c b^2. Primeiro calculo b^2:
b^2\approx (0,0429)^2\approx 0,00184\\ \mathrm{L^2\,mol^{-2}}.
Multiplico por 27P_c:
a=27\cdot 45,6\cdot 0,00184.
Calculo 27\cdot 45,6=1231,2. Então
a\approx 1231,2\cdot 0,00184\approx 2,26\\ \mathrm{atm\,L^{2}\,mol^{-2}}.
Assim obtemos as constantes a e b (conferem com os valores fornecidos na resposta esperada).

Passo 5

Agora vamos calcular o fator de compressibilidade Z à pressão P=10\\ \mathrm{atm} e T=22^\circ\mathrm{C}=295\\ \mathrm{K}. Definição:
Z=\frac{P\,V_m}{R\,T},
onde V_m é o volume molar real do gás àquelas condições, obtido da equação de van der Waals:
\left(P+\frac{a}{V_m^2}\right)(V_m-b)=R\,T.
Isso é uma equação cúbica em V_m. Vou resolver por iteração simples (método de ponto fixo) começando pela aproximação do gás ideal — esse é um caminho que dá conta do recado manualmente quando o desvio não é grande.
  1. Estimativa inicial ideal:
V_{m}^{(0)}=\frac{R\,T}{P}=\frac{0,082057\cdot 295}{10}= \frac{24,456815}{10}=2,4456815\\ \mathrm{L/mol}.
  1. Corrijo usando a forma rearranjada:
V_m=b+\frac{R\,T}{P+\dfrac{a}{V_m^2}}.
Usando V_{m}^{(0)} no termo a/V_m^2:
\frac{a}{(V_{m}^{(0)})^2}=\frac{2,26}{(2,44568)^2}\approx 0,378\\ \mathrm{atm}.
Então a pressão efetiva é P+\dfrac{a}{V^2}\approx 10,378\\ \mathrm{atm} e
V_{m}^{(1)}\approx 0,043+\frac{0,082057\cdot 295}{10,378}=0,043+\frac{24,4568}{10,378}\approx 0,043+2,356\approx 2,399\\ \mathrm{L/mol}.
  1. Repito uma vez para convergência rápida: com V_{m}^{(1)}=2,399,
\frac{a}{(V_{m}^{(1)})^2}\approx\frac{2,26}{(2,399)^2}\approx 0,393\\ \mathrm{atm},
V_{m}^{(2)}\approx 0,043+\frac{24,4568}{10,393}\approx 0,043+2,353\approx 2,396\\ \mathrm{L/mol}.
Mais uma iteração dá praticamente o mesmo número; portanto tomo
V_m\approx 2,396\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 6

Calculo finalmente o fator de compressibilidade Z:
Z=\frac{P\,V_m}{R\,T}=\frac{10\cdot 2,396}{0,082057\cdot 295}=\frac{23,96}{24,4568}\approx 0,980.
Interpretação: Z=1 é o comportamento ideal. Aqui Z\approx 0,980 significa um desvio de aproximadamente 2,0\% abaixo do ideal. Regra prática: desvios de poucos por cento (digamos até 5%) costumam permitir tratar o gás como aproximadamente ideal para muitos cálculos de engenharia/controle rápido. Então, nessas condições ( 10\\ \mathrm{atm}, 22^\circ\mathrm{C}), o etano está muito próximo do comportamento ideal — tecnicamente não é perfeitamente ideal, mas pode ser considerado ideal em muitas aplicações aproximadas.

Resposta

a=2,26\\ \mathrm{atm\,L^{2}\,mol^{-2}} \n
b=0,043\\ \mathrm{L\,mol^{-1}} \n
Z\approx0,980 — portanto, o gás pode ser considerado aproximadamente ideal (desvio \sim 2\%).

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