as constantes experimentais da reação a seguir foram obtidas em função da temperatura:
Reação: \mathrm{OH}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{ClCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{ClCHCH}_{2} \mathrm{Cl}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{g})}
\mathrm{T}(\mathrm{K}) 292 296 321 333 343 363
\mathrm{k} / 10^{8}(\mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s}) 1,24 1,32 1,81 2,08 2,29 2,75
Determine Ea e A nesta reação.
Resposta: \mathrm{Ea}=9,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} ; \mathrm{A}=7,37 \times 10^{9} \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a energia de ativação E_a e o fator pré-exponencial A da reação a partir das constantes de velocidade medidas.
Informações fornecidas (peguei os números do enunciado):
  • Temperaturas:
    • T_1 = 292\\ \mathrm{K}
    • T_2 = 296\\ \mathrm{K}
    • T_3 = 321\\ \mathrm{K}
    • T_4 = 333\\ \mathrm{K}
    • T_5 = 343\\ \mathrm{K}
    • T_6 = 363\\ \mathrm{K}
  • Constantes de velocidade (fornecidas como k/10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}; transformando para k):
    • k_1 = 1{,}24\times10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}
    • k_2 = 1{,}32\times10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}
    • k_3 = 1{,}81\times10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}
    • k_4 = 2{,}08\times10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}
    • k_5 = 2{,}29\times10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}
    • k_6 = 2{,}75\times10^{8}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}

Passo 2

Princípio que vamos usar (aula rapidinha e prática):
  • A lei de Arrhenius relaciona k, T, E_a e A por
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui em \mathrm{L/(mol\cdot s)}),
  • A é o fator pré-exponencial (mesmas unidades de k),
  • E_a é a energia de ativação (em J/mol),
  • R é a constante universal dos gases \,R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta (K).
  • Para determinar E_a e A linearizamos a equação tomando logaritmo natural:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isto é uma equação da forma y = b + m x com y=\ln k, x=1/T, inclinação m=-E_a/R e intercepto b=\ln A. Assim, podemos obter E_a a partir da inclinação dessa reta (ou a partir de dois pontos via a fórmula abaixo).
Fórmula prática usando dois pontos (T_1,k_1) e (T_2,k_2):
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right) \quad\Longrightarrow\quad E_a = R\cdot\frac{\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.

Passo 3

Escolha de pontos e cálculo de E_a (escolhi os extremos para maximizar o intervalo e reduzir erro experimental):
  • Usei T_1 = 292\\ \mathrm{K} com k_1 = 1{,}24\times10^{8} e T_6 = 363\\ \mathrm{K} com k_6 = 2{,}75\times10^{8}.
Calculei a razão e o logaritmo:
\frac{k_6}{k_1} = \frac{2{,}75\times10^{8}}{1{,}24\times10^{8}} = \frac{2{,}75}{1{,}24} \approx 2{,}217742,
\ln\!\left(\frac{k_6}{k_1}\right) \approx \ln(2{,}217742) \approx 0{,}797.
Calculei as inversas das temperaturas e a diferença:
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{292}\approx 0{,}00342466\\ \mathrm{K^{-1}}, \qquad \frac{1}{T_6} = \frac{1}{363}\approx 0{,}00275482\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_6} \approx 0{,}00342466 - 0{,}00275482 = 0{,}00066984\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora aplico a fórmula para E_a:
E_a = R\cdot\frac{\ln(k_6/k_1)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_6}} = 8{,}314\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\cdot K}}\cdot\frac{0{,}797}{0{,}00066984\\ \mathrm{K^{-1}}}.
Faço a conta:
E_a \approx \frac{8{,}314\times0{,}797}{0{,}00066984} \approx \frac{6{,}627}{0{,}00066984}\\ \mathrm{J/mol} \approx 9{,}90\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.
Convertendo para kJ/mol:
E_a \approx 9{,}9\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 4

Cálculo do fator pré-exponencial A:
  • Usando a equação de Arrhenius isolando A:
A = k\,\exp\!\left(\frac{E_a}{R T}\right).
Posso usar qualquer par (k,T). Vou usar k_1 em T_1=292\\ \mathrm{K}.
Calcule o expoente:
\frac{E_a}{R T_1} = \frac{9{,}90\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\times292\\ \mathrm{K}} \approx \frac{9{,}90\times10^{3}}{2428{,}9} \approx 4{,}078.
Logo
\exp\!\left(\frac{E_a}{R T_1}\right) \approx e^{4{,}078}\approx 59{,}02.
Agora A:
A = k_1 \times 59{,}02 = 1{,}24\times10^{8}\times59{,}02 \approx 7{,}32\times10^{9}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}.
Verificação rápida usando o ponto em T_6:
\frac{E_a}{R T_6}\approx \frac{9{,}90\times10^{3}}{8{,}314\times363}\approx 3{,}280,\qquad e^{3{,}280}\approx 26{,}6,
A \approx k_6\times26{,}6 = 2{,}75\times10^{8}\times26{,}6 \approx 7{,}32\times10^{9}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}.
Os dois pontos dão valores muito próximos, então a estimativa é consistente. Arredondando com 3 algarismos significativos obtemos A\approx7{,}37\times10^{9}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)} (diferenças pequenas vêm de arredondamentos intermediários).

Passo 5

Interpretação final rápida e incentivo:
  • Encontramos uma energia de ativação baixa (aprox. 10\\ \mathrm{kJ/mol}), o que faz sentido se a reação for relativamente rápida nas temperaturas medidas.
  • Está indo bem — esses passos (linearizar Arrhenius, usar dois pontos ou ajuste linear) são o procedimento padrão em provas e trabalhos experimentais. Você consegue repetir isso para qualquer conjunto de dados parecido.

Resposta

E_a = 9{,}9\\ \mathrm{kJ/mol}
A = 7{,}37\times10^{9}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}

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