Na isomerização da isonitrila de metila para acetonitrila, os seguintes dados cinéticos foram obtidos:
\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{K}\left(\mathrm{s}^{-1}\right)
189,7 2,52 \times 10^{-5}
198,9 5,25 \times 10^{-5}
230,3 6,30 \times 10^{-4}
251,2 3,16 \times 10^{-3}
O cálculo da Ea desta reação indicou valor de 160 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}. Considerando R = 8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.K, qual a constante de velocidade se a reação for feita a 280^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a constante de velocidade k da reação a 280^\circ\mathrm{C} sabendo que a energia de ativação é E_a=160\\ \mathrm{kJ/mol} e usando R=8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Dados fornecidos (peguei estes do enunciado):
  • Temperaturas e constantes de velocidade medidas:
    • T_1 = 189{,}7^\circ\mathrm{C}, k_1 = 2,52\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • T_2 = 198{,}9^\circ\mathrm{C}, k_2 = 5,25\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • T_3 = 230{,}3^\circ\mathrm{C}, k_3 = 6,30\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • T_4 = 251{,}2^\circ\mathrm{C}, k_4 = 3,16\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Energia de ativação: E_a = 160\\ \mathrm{kJ/mol} = 160000\\ \mathrm{J/mol}.
  • Constante dos gases: R = 8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Temperatura alvo: T = 280^\circ\mathrm{C}.
O objetivo é calcular k(T) a 280^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê. A lei de Arrhenius relaciona k com T por
k(T)=A\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • k(T) é a constante de velocidade na temperatura T (em kelvin),
  • A é o fator pré-exponencial (frequência de tentativas),
  • E_a é a energia de ativação (em J/mol),
  • R é a constante dos gases (em J/(mol·K)),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Para evitar ter que determinar A diretamente com muitos cálculos, uso a forma que relaciona duas constantes de velocidade em duas temperaturas quaisquer (obtida dividindo duas expressões de Arrhenius):
\ln\!\left(\dfrac{k(T)}{k_{\mathrm{ref}}}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\!\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_{\mathrm{ref}}}\right).
Dessa forma escolho uma medida experimental como referência (uso T_{\mathrm{ref}}=251{,}2^\circ\mathrm{C}, k_{\mathrm{ref}}=3{,}16\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}) e calculo k a 280^\circ\mathrm{C}. Esse método é numericamente estável e evita calcular A explicitamente.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin:
T = 280 + 273{,}15 = 553{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{\mathrm{ref}} = 251{,}2 + 273{,}15 = 524{,}35\\ \mathrm{K}.
Calculo as inversas:
\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{553{,}15}\approx 0{,}00180750\\ \mathrm{K}^{-1}, \qquad \dfrac{1}{T_{\mathrm{ref}}} = \dfrac{1}{524{,}35}\approx 0{,}00190737\\ \mathrm{K}^{-1}.
A diferença aparece como
\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_{\mathrm{ref}}} \approx -9{,}987\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Calcular o fator multiplicativo do exponencial. Primeiro calculo E_a/R:
\dfrac{E_a}{R} = \dfrac{160000\\ \mathrm{J/mol}}{8{,}31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}\approx 1{,}9255\times10^{4}.
Multiplicando por a diferença das inversas de temperaturas:
-\dfrac{E_a}{R}\!\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_{\mathrm{ref}}}\right) \approx -\bigl(1{,}9255\times10^{4}\bigr)\times\bigl(-9{,}987\times10^{-5}\bigr) \approx 1{,}92297.
Portanto o fator exponencial vale aproximadamente \exp(1{,}92297).

Passo 5

Avaliar a exponencial e obter k(280^\circ\mathrm{C}). Calculando
\exp(1{,}92297)\approx 6{,}84.
Aplicando a relação entre k e k_{\mathrm{ref}}:
k(280^\circ\mathrm{C}) = k_{\mathrm{ref}}\cdot \exp(1{,}92297) \approx 3{,}16\times10^{-3}\times 6{,}84 \approx 2{,}16\times10^{-2}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: aumentou bastante a constante ao subir de 251{,}2^\circ\mathrm{C} para 280^\circ\mathrm{C}, o que é consistente com um E_a alto. O valor final tem precisão compatível com as aproximações feitas (arredondamentos nas etapas aritméticas).

Resposta

2{,}16\times10^{-2}\\ \mathrm{s}^{-1}

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