a constante de velocidade para a reação de 2^{\mathrm{a}} ordem entre o bromoetano e o OH-, em solução aquosa, foi medida em várias temperaturas, cujos resultados estão na tabela a seguir. Com base nisto, qual o valor da Ea desta reação? Resolva a questão calculando a partir do cálculo da inclinação da reta.
\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \mathrm{K}(\mathrm{L} . \mathrm{mol} / \mathrm{s})
25 8,8 \times 10^{-5}
30 1,6 \times 10^{-4}
35 2,8 \times 10^{-4}
40 5,0 \times 10^{-4}
45 8,5 \times 10^{-4}
50 1,4 \times 10^{-3}
Reação: \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{Br}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{OH}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})} \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{Br}_{(\mathrm{aq})}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números da tabela enviada):
  • Pedido: determinar a energia de ativação E_a da reação, calculando-a a partir da inclinação da reta (isto se refere à reta da forma linearizada da equação de Arrhenius).
  • Dados (temperaturas e constantes de velocidade):
    • T=25^\circ\mathrm{C}, k=8{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}
    • T=30^\circ\mathrm{C}, k=1{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}
    • T=35^\circ\mathrm{C}, k=2{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}
    • T=40^\circ\mathrm{C}, k=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}
    • T=45^\circ\mathrm{C}, k=8{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}
    • T=50^\circ\mathrm{C}, k=1{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}
A estratégia pedida: calcular a inclinação da reta (da forma linearizada) e a partir dela obter E_a. A resolução começa a seguir.

Passo 2

A fórmula que vamos usar (Arrhenius) e sua linearização — explicando cada termo:
  • A equação de Arrhenius é
k = A \, e^{-E_a/(R T)}
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui em \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}),
  • A é o fator pré-exponencial (constante),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\cdot mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
  • T é a temperatura em kelvin.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados temos a forma linear:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isto é uma equação de reta na variável \dfrac{1}{T}: se plotarmos \ln k versus \dfrac{1}{T} obtemos uma reta com inclinação
\text{slope} = m = -\frac{E_a}{R}.
Assim, a partir da inclinação m encontramos
E_a = -m\,R.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin e calcular \dfrac{1}{T} (peguei as temperaturas da tabela):
  • Converter T para kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
    • T_{25}=298{,}15\\ \mathrm{K}, T_{30}=303{,}15\\ \mathrm{K}, T_{35}=308{,}15\\ \mathrm{K},
    • T_{40}=313{,}15\\ \mathrm{K}, T_{45}=318{,}15\\ \mathrm{K}, T_{50}=323{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular \dfrac{1}{T} (em \mathrm{K^{-1}}):
    • \dfrac{1}{T_{25}} = 0{,}003354016\\ \mathrm{K^{-1}}
    • \dfrac{1}{T_{30}} = 0{,}003298755\\ \mathrm{K^{-1}}
    • \dfrac{1}{T_{35}} = 0{,}003245119\\ \mathrm{K^{-1}}
    • \dfrac{1}{T_{40}} = 0{,}003193361\\ \mathrm{K^{-1}}
    • \dfrac{1}{T_{45}} = 0{,}003142384\\ \mathrm{K^{-1}}
    • \dfrac{1}{T_{50}} = 0{,}003095022\\ \mathrm{K^{-1}}
(As casas decimais acima são suficientes para o nosso cálculo da inclinação.)

Passo 4

Calcular \ln k para cada constante de velocidade (peguei os k da tabela):
  • \ln(8{,}8\times10^{-5}) = -9{,}338173
  • \ln(1{,}6\times10^{-4}) = -8{,}740336
  • \ln(2{,}8\times10^{-4}) = -8{,}180721
  • \ln(5{,}0\times10^{-4}) = -7{,}600902
  • \ln(8{,}5\times10^{-4}) = -7{,}070274
  • \ln(1{,}4\times10^{-3}) = -6{,}571283
Explicando rapidamente como calcular \ln de números na prova sem calculadora: normalmente usar-se-ia tabela ou calculadora. Para este exercício eu calculei os \ln numericamente para mostrar o procedimento; o passo essencial na prova será montar a reta \ln k vs 1/T e determinar sua inclinação (por regressão ou por dois pontos bem escolhidos).

Passo 5

Escolher o método para obter a inclinação e justificar:
  • Para simplificar e manter um procedimento rápido (e ainda razoavelmente preciso), uso os dois pontos extremos ( T=25^\circ\mathrm{C} e T=50^\circ\mathrm{C}). Usar os extremos dá maior espaçamento em \dfrac{1}{T}, reduzindo erro relativo na inclinação obtida a partir de dois pontos. Em prova essa é uma escolha comum quando pedem “a partir da inclinação da reta” sem pedir regressão completa.

Passo 6

Calcular a inclinação m usando os pontos 25^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C}:
  • Valores usados (pegos da conta anterior):
    • \ln k_{25} = -9{,}338173, \dfrac{1}{T_{25}} = 0{,}003354016
    • \ln k_{50} = -6{,}571283, \dfrac{1}{T_{50}} = 0{,}003095022
  • Diferenças:
\Delta(\ln k)=\ln k_{50}-\ln k_{25} = -6{,}571283 - (-9{,}338173) = 2{,}766890.
\Delta\!\left(\frac{1}{T}\right)=\frac{1}{T_{50}}-\frac{1}{T_{25}} = 0{,}003095022 - 0{,}003354016 = -0{,}000258994.
  • Inclinação:
m=\frac{\Delta(\ln k)}{\Delta(1/T)}=\frac{2{,}766890}{-0{,}000258994}\approx -1{,}0680\times10^{4}\\ \mathrm{K}.
(ou seja m\approx -10680\\ \mathrm{K}.)

Passo 7

Calcular E_a a partir da inclinação:
  • Usando E_a = -m\,R com R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
E_a = -(-1{,}0680\times10^{4})\times 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} \approx 1{,}0680\times10^{4}\times 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
  • Multiplicando:
E_a \approx 88{,}794\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
(Convertemos de joules para quilojoules dividindo por 1000.)

Passo 8

Interpretação final e arredondamento:
  • Com base no cálculo pela inclinação entre os pontos extremos, obtemos
E_a \approx 88{,}8\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
  • Comentário prático: se fosse feita uma regressão linear com todos os pontos o valor fica muito próximo; escolher os extremos dá um resultado rápido e adequado para prova.

Resposta

E_a \approx 88{,}8\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}

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