Demostre que o fator pré-exponencial na equação de Arrhenius possui a mesma unidade da constante de velocidade de reação.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que o fator pré-exponencial na equação de Arrhenius tem a mesma unidade (as mesmas dimensões) da constante de velocidade de reação. As informações relevantes que vamos usar são apenas a forma da equação de Arrhenius e as unidades físicas básicas de energia, temperatura e da constante universal dos gases.

Passo 2

Escrevendo a equação de Arrhenius e identificando variáveis:
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right)
Aqui:
  • k é a constante de velocidade da reação (unidades dependem da ordem da reação);
  • A é o fator pré-exponencial (também chamado de frequência pré-exponencial);
  • E_a é a energia de ativação (unidade típica: \mathrm{J\,mol^{-1}});
  • R é a constante dos gases (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta (unidade: \mathrm{K}).

Passo 3

Argumento do exponencial deve ser adimensional. Vou explicar por quê: a função exponencial \exp(x) tem a série de Taylor
\exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots,
essa soma só faz sentido se x for um número puro (sem unidade). Portanto o argumento -\dfrac{E_a}{R T} precisa ser adimensional.

Passo 4

Verificação das unidades do quociente \dfrac{E_a}{R T}:
  • E_a tem unidade \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • R tem unidade \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T tem unidade \mathrm{K}.
Multiplicando R por T
R T \text{ tem unidade } \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Assim o quociente tem unidade
\frac{E_a}{R T} \text{ tem unidade } \frac{\mathrm{J\,mol^{-1}}}{\mathrm{J\,mol^{-1}}} = \text{adimensional},
confirmando que o exponencial é de fato um número puro (sem unidade).

Passo 5

Voltando à equação de Arrhenius:
k = A \times \underbrace{\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R T}\right)}_{\text{adimensional}}.
Como o fator exponencial é adimensional, ele não altera unidades. Portanto as unidades de k e de A devem ser idênticas. Uma forma clara de ver isso é reescrever a equação como
\frac{k}{A}=\exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right),
a razão k/A é adimensional, então k e A têm as mesmas unidades.

Passo 6

Comentário prático sobre as unidades: a unidade concreta de k depende da ordem da reação. Se a lei de velocidade tiver a forma \text{velocidade}=k\,[\text{C}]^{n}, então
[k]=\text{(concentração)}^{1-n}\,\text{time}^{-1}.çã
Como [A]=[k], o fator pré-exponencial A terá exatamente essa mesma unidade. Exemplos:
  • reação de primeira ordem: [k]=\mathrm{s}^{-1} então [A]=\mathrm{s}^{-1};
  • reação de segunda ordem (por ex. bimolecular): [k]=\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}} então [A]=\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 7

Resumo e conclusão lógica: a exigência matemática de que o argumento do exponencial seja adimensional força o exponencial a ser um número puro; portanto a única forma de a equação ficar dimensionalmente consistente é que A carregue exatamente as unidades de k. Assim o fator pré-exponencial tem as mesmas unidades que a constante de velocidade.

Resposta

A e k têm as mesmas unidades: [A]=[k].

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