Construa, para cada uma das seguintes transformações de em , a matriz que a representa na base canónica:
Projecção do vector

Passo 1

O enunciado pede a matriz, na base canónica de R^3, da transformação que primeiro projecta (x,y,z)^t no plano yz (isto é, anula a componente x) e depois faz uma rotação de Ângulo pi/2 no sentido dos ponteiros do relógio quando vista a partir do ponto (1,0,0).
Conteúdo: matrizes de transformações lineares – matriz de projecção e matriz de rotação em torno do eixo x.

Passo 2

A projecção no plano yz envia
(x,y,z)^t;longmapsto;(0,y,z)^t
A matriz desta projecção, digamos P, na base canónica é
P = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois anula a primeira coordenada e deixa y,z inalterados.

Passo 3

A rotação em torno do eixo x de ângulo pi/2 no sentido dos ponteiros do relógio, vista do ponto (1,0,0), equivale a um ângulo -pi/2 pelo critério padrão (ângulo positivo é contra-horário). Assim a matriz R de rotação em torno de x é
R = Rxl(-tfracpi2r) = 1 & 0 & 0 0 & cos(-tfracpi2) & -sin(-tfracpi2) 0 & sin(-tfracpi2) & cos(-tfracpi2) = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0

Passo 4

Como primeiro aplicamos P e depois R, a matriz composta é
M ;=; R,P = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0

Resposta

A matriz, na base canónica, da transformação pedida é
0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0

Exercícios relacionados