(a) Calcule a matriz que representa em relação à base canónica de , e determine o núcleo de , indicando a sua dimensão e uma base.
(b) Determine todas as soluções da equação .
(c) Mostre que o conjunto
forma uma base de , e escreve a matriz de mudança de base da base canónica para .
(d) Calcule a representação matricial de em relação à base .
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear dada por
Vamos precisar de conceitos de representação matricial em base canónica, núcleo de uma transformação linear, resolução de sistemas lineares, definição de base de , mudança de base e cálculo da matriz de numa base arbitrária.
Passo 2
Para achar a matriz de na base canónica, avaliamos nos vetores , , :
Assim
Passo 3
Para o núcleo
Da segunda equação . Logo
Portanto e uma base é .
Passo 4
Para
Da segunda . Logo as soluções são
ou seja
Passo 5
Para mostrar que
B=(1,-1,-1),;(0,1,1),;(0,0,1)
é base de R^3, note que são 3 vetores em R^3 e, se alpha(1,-1,-1)+beta(0,1,1)+gamma(0,0,1)=(0,0,0),
então da primeira componente alpha=0, da segunda beta=0 e da terceira gamma=0. Logo são LI e formam base.
Passo 6
A matriz de mudança de base da canónica para B tem colunas os vetores de B escritos na base canónica:
S= 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1
Passo 7
Para obter a matriz de T em B, calculamos T(bi) e expressamos em B: