Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+y, y-z, x+2 y-z)
(a) Calcule a matriz A que representa T em relação à base canónica de R^3, e determine o núcleo N(T) de T, indicando a sua dimensão e uma base.
(b) Determine todas as soluções da equação T(u)=(1,0,1).
(c) Mostre que o conjunto
B=(1,-1,-1),(0,1,1),(0,0,1)
forma uma base de R^3, e escreve a matriz S de mudança de base da base canónica para B.
(d) Calcule a representação matricial de T em relação à base B.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(x+y,;y-z,;x+2y-z)
Vamos precisar de conceitos de representação matricial em base canónica, núcleo de uma transformação linear, resolução de sistemas lineares, definição de base de R^3, mudança de base e cálculo da matriz de T numa base arbitrária.

Passo 2

Para achar a matriz A de T na base canónica, avaliamos T nos vetores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1):
T(1,0,0)=(1,0,1), T(0,1,0)=(1,1,2), T(0,0,1)=(0,-1,-1)
Assim
A= 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 1 & 2 & -1

Passo 3

Para o núcleo
Da segunda equação . Logo
Portanto e uma base é .

Passo 4

Para
Da segunda . Logo as soluções são
ou seja

Passo 5

Para mostrar que
B=(1,-1,-1),;(0,1,1),;(0,0,1)
é base de R^3, note que são 3 vetores em R^3 e, se
alpha(1,-1,-1)+beta(0,1,1)+gamma(0,0,1)=(0,0,0),
então da primeira componente alpha=0, da segunda beta=0 e da terceira gamma=0. Logo são LI e formam base.

Passo 6

A matriz de mudança de base da canónica para B tem colunas os vetores de B escritos na base canónica:
S= 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1

Passo 7

Para obter a matriz de T em B, calculamos T(bi) e expressamos em B:
T(1,-1,-1)=(0,0,0)mapsto[0,0,0], T(0,1,1)=(1,0,1)mapsto[1,1,1], T(0,0,1)=(0,-1,-1)mapsto[0,-1,0]
Assim a matriz de T em B é
AB= 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0

Resposta

(a)
A= 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 1 & 2 & -1 , N(T)=y(-1,1,1)mid yinR,; dimN(T)=1,;base (-1,1,1)
(b)
(1-t,t,t)mid tinR
(c) B é LI e gera R^3, logo base.
S= 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1
(d)
AB= 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0

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