Diga, justificando, quais das seguintes transformações
são lineares. Nesses casos, calcule a matriz que representa a transformação em relação à base dos vectores coordenados unitários.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
O conteúdo é Transformações Lineares: vamos verificar se
satisfaz aditividade e homogeneidade e, se for linear, obter sua matriz na base canônica.
Passo 2
Para ser linear,
deve satisfazer
para quaisquer
e escalar
. Cada componente de
é uma combinação linear de
sem termo constante, logo preserva soma e multiplicação por escalar. Portanto,
é linear.
Passo 3
Calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
Passo 4
A matriz
de
na base canônica tem colunas formadas por
,
e
. Assim,