Diga, justificando, quais das seguintes transformações T: R^3 R^3 são lineares. Nesses casos, calcule a matriz que representa a transformação em relação à base dos vectores coordenados unitários.
T(x, y, z)=(2 x-y+3 z, y-2 z, 3 z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x - y + 3z,;y - 2z,;3z)
O conteúdo é Transformações Lineares: vamos verificar se T satisfaz aditividade e homogeneidade e, se for linear, obter sua matriz na base canônica.

Passo 2

Para ser linear, T deve satisfazer
T(u+v) = T(u) + T(v) e T(c,u) = c,T(u)
para quaisquer u,vinR^3 e escalar c. Cada componente de T(x,y,z) é uma combinação linear de x,y,z sem termo constante, logo preserva soma e multiplicação por escalar. Portanto, T é linear.

Passo 3

Calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
T(e1)=T(1,0,0)=(2cdot1-0+3cdot0,;0-2cdot0,;3cdot0)=(2,0,0),
T(e2)=T(0,1,0)=(2cdot0-1+3cdot0,;1-2cdot0,;3cdot0)=(-1,1,0),
T(e3)=T(0,0,1)=(2cdot0-0+3cdot1,;0-2cdot1,;3cdot1)=(3,-2,3)

Passo 4

A matriz A de T na base canônica tem colunas formadas por T(e1), T(e2) e T(e3). Assim,
A = 2 & -1 & 3 0 & 1 & -2 0 & 0 & 3

Resposta

T é linear e sua matriz na base dos vetores coordenados unitários é
2 & -1 & 3 0 & 1 & -2 0 & 0 & 3

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