Considere, no espaço vectorial , as bases ordenadas (base canónica) e .
(a) Determine a matriz que realiza a mudança de case de para .
(b) Dado um vector , isto é, de coordenadas na base , determine as suas coordenadas na base (Sugestão: Inverta ).
(c) Considere a transformação linear cuja representação matricial na base canónica é
Usando os resultados de (a) e (b), determine a matriz que representa T na base B2.
Passo 1
O enunciado pede:
(a) construir a matriz de mudança de base S que leva coordenadas na base canónica B1 para coordenadas na base B2, cujos vetores são
bar v1 = -111, bar v2 = -1-11, bar v3 = 001
(b) inverter S para obter, a partir de x=[x1,x2,x3]^t em B1, as coordenadas y=[y1,y2,y3]^t em B2.
(c) dada a matriz de T em B1,
A= 2 & -4 & -4 0 & 5 & 1 0 & 1 & 5 ,
achar a matriz de T em B2 via
M B2 ;=; S^-1,A,S
Os tópicos usados são mudança de base, inversão de matriz e conjugação de matrizes.
Passo 2
Para (a), a matriz S tem colunas dadas pelas coordenadas em B1 dos vetores de B2. Logo
S = -1 & -1 & 0 ;1 & -1 & 0 ;1 & ;1 & 1
Passo 3
Para (b), calculamos . O determinante de é e o adjunto leva a
Assim, se em , suas coordenadas em vêm de
isto é
Passo 4
Para (c), usamos a fórmula de conjugação de matrizes: