Considere, no espaço vectorial R^3, as bases ordenadas B1=bare1, bare2, bare3 (base canónica) e B2=[-111]^t,[-1- 11]^t,[lll0 & 0 & 1]^t.
(a) Determine a matriz S que realiza a mudança de case de B1 para B2.
(b) Dado um vector u=x1 bare1+x2 bare2+x3 bare3, isto é, de coordenadas [lllx1 & x2 & x3]^t na base B1, determine as suas coordenadas [llly1 & y2 & y3]^t na base B2 (Sugestão: Inverta S ).
(c) Considere a transformação linear T: R^3 R^3 cuja representação matricial na base canónica é
[ccc 2 & -4 & -4 0 & 5 & 1 0 & 1 & 5 ]
Usando os resultados de (a) e (b), determine a matriz que representa T na base B2.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) construir a matriz de mudança de base S que leva coordenadas na base canónica B1 para coordenadas na base B2, cujos vetores são
bar v1 = -111, bar v2 = -1-11, bar v3 = 001
  • (b) inverter S para obter, a partir de x=[x1,x2,x3]^t em B1, as coordenadas y=[y1,y2,y3]^t em B2.
  • (c) dada a matriz de T em B1,
A= 2 & -4 & -4 0 & 5 & 1 0 & 1 & 5 ,
achar a matriz de T em B2 via
M B2 ;=; S^-1,A,S
Os tópicos usados são mudança de base, inversão de matriz e conjugação de matrizes.

Passo 2

Para (a), a matriz S tem colunas dadas pelas coordenadas em B1 dos vetores de B2. Logo
S = -1 & -1 & 0 ;1 & -1 & 0 ;1 & ;1 & 1

Passo 3

Para (b), calculamos . O determinante de é e o adjunto leva a
Assim, se em , suas coordenadas em vêm de
isto é

Passo 4

Para (c), usamos a fórmula de conjugação de matrizes:
M B2 = S^-1,A,S
Primeiro A,S
A,S= -10 & -2 & -4 ;6 & -4 & ;1 ;6 & ;4 & ;5 ,
e então
S^-1(A,S) =12 -1 & 1 & 0 -1 & -1 & 0 2 & 0 & 2 -10 & -2 & -4 ;6 & -4 & ;1 ;6 & ;4 & ;5 = 16 & -2 & 5 ;4 & ;6 & 3 -8 & ;4 & 2 !12,
ou seja
M B2 = 8 & -1 & tfrac52 2 & 3 & tfrac32 -4 & 2 & 1

Resposta

(a)
(b)
isto é , , .
(c)

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