a) Construa um ciclo de Born-Haber para a formação do \mathrm{MgBr}_{2}, indicando os símbolos de cada uma das etapas.
b) Calcule a entalpia de rede do \mathrm{MgBr}_{2} a partir dos seguintes dados:
\Delta_{\text {atom }} \mathrm{H}^{\circ}(\mathrm{Mg}, \mathrm{s})=+148 \mathrm{kJmol}^{-1} ; \Delta_{\text {ion }} \mathrm{H}^{\circ}(\mathrm{Mg}, \mathrm{g})\left(1^{\underline{\mathrm{a}}}+2^{\underline{\mathrm{a}}}\right)=+2187 \mathrm{kJmol}^{-1} ; \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{H}^{\circ}(\mathrm{Br}, \mathrm{g})=+112 \mathrm{kJmol}^{-1} ; \Delta_{\mathrm{ge}} \mathrm{H}^{\circ}(\mathrm{Br}, \mathrm{g})=-331 \mathrm{kJmol}^{-1} ; \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{H}^{\circ}\left(\mathrm{MgBr}_{2}, \mathrm{~s}\right)=-524 \mathrm{kJmol}^{-1} ; \Delta_{\text {diss }} \mathrm{H}^{\circ}\left(\mathrm{Br}_{2}, \mathrm{~g}\right)=+193 \mathrm{kJmol}^{-1} ; \Delta_{\mathrm{Vap}} \mathrm{H}^{\circ}\left(\mathrm{Br}_{2}, \mathrm{l}\right)=+31 \mathrm{kJmol}^{-1}
(Nem todos os dados devem ser usados, Selecione os dados necessários)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Construir um ciclo de Born–Haber para a formação de \mathrm{MgBr_{2}}, indicando os símbolos de cada etapa.
  2. (b) Calcular a entalpia de rede de \mathrm{MgBr_{2}} usando os dados fornecidos (nem todos são necessários).
Dados relevantes fornecidos (vou escrevê‑los em forma direta, que usarei depois):
\begin{aligned} &\Delta_{\text{atom}} H^\circ(\mathrm{Mg},s)=+148\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\[4pt] &\Delta_{\text{ion}} H^\circ(\mathrm{Mg},g)\\ (\text{1ª + 2ª})=+2187\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\[4pt] &\Delta_{\text{vap}} H^\circ(\mathrm{Br_{2}},l)=+31\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\[4pt] &\Delta_{\text{diss}} H^\circ(\mathrm{Br_{2}},g)=+193\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\[4pt] &\Delta_{\text{ge}} H^\circ(\mathrm{Br},g)= -331\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\ (\text{energia ao ganhar 1 e}^{-})\\[4pt] &\Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{MgBr_{2}},s)= -524\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\[4pt] &\Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{Br},g)=+112\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\\ (\text{atomização por } \mathrm{Br}) \end{aligned}ªªçã
Observações rápidas sobre os dados (só identificando, sem calcular ainda):
  • A vaporização + dissociação de \mathrm{Br_{2}} transforma \mathrm{Br_{2}}(l) em 2\\ \mathrm{Br}(g); +31+193=+224\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  • O dado +112\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} para \mathrm{Br}(g) é coerente porque 2\times112=224.
  • A notação \Delta_{\mathrm{ge}} H^\circ(\mathrm{Br},g)=-331\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} é a energia liberada quando um átomo \mathrm{Br}(g) recebe um elétron (afinidade eletrônica, negativa porque é exotérmica).]

Passo 2

O que é um ciclo de Born–Haber e quais etapas usamos aqui (aulas rápidas e exemplos):
  • Um ciclo de Born–Haber relaciona a entalpia padrão de formação do sólido iônico com etapas individuais: atomização (sólido → átomos gasosos), energia de ionização (remoção de elétrons de átomos gasosos), afinidade eletrônica (ganho de elétrons por átomos gasosos), e a entalpia de rede (formação do sólido a partir dos íons gasosos). A soma algébrica dessas etapas é igual à entalpia de formação do composto.
  • Convenção de sinal que usaremos:
    • Quantidades endoérmicas (custam energia) são positivas, ex.: atomização, ionização, vaporização, dissociação.
    • Afinidade eletrônica é negativa quando libera energia (ex.: \Delta_{\mathrm{ea}}<0).
    • Entalpia de rede para a reação \mathrm{Mg^{2+}(g) + 2\,Br^{-}(g) \to MgBr_{2}(s)} aparecerá como termo que normalmente é negativo (formação exotérmica do retículo). Se pedirem “entalpia de rede” como a energia necessária para separar o cristal em íons gasosos, então o valor tem o sinal oposto. Eu vou calcular a entalpia associada à formação do sólido (valor com sinal negativo se a formação for exotérmica) e em seguida explico a outra convenção.
  • Etapas concretas que precisamos para \mathrm{MgBr_{2}} (uma por uma, com o que significam):
    1. Atomização do magnésio: \mathrm{Mg}(s) \to \mathrm{Mg}(g). Entalpia \Delta_{\text{atom}}H^\circ(\mathrm{Mg},s)=+148\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
      • Explicação: convertemos o metal sólido em átomos gasosos.
    2. Ionização do magnésio: \mathrm{Mg}(g) \to \mathrm{Mg^{2+}}(g) + 2e^{-}. Entalpia \Delta_{\text{ion}}H^\circ(\mathrm{Mg},g)=+2187\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
      • Explicação: inclui 1ª e 2ª energias de ionização (remoção de dois elétrons).
    3. Preparar bromo atômico a partir do bromo líquido: duas subetapas:
      a) Vaporização: \mathrm{Br_{2}}(l) \to \mathrm{Br_{2}}(g). Entalpia \Delta_{\text{vap}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},l)=+31\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
      b) Dissociação: \mathrm{Br_{2}}(g) \to 2\,\mathrm{Br}(g). Entalpia \Delta_{\text{diss}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},g)=+193\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
      • Em conjunto essas duas etapas custam +224\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} para produzir 2 átomos \mathrm{Br}(g).
      • Alternativamente, usar 2\times\Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{Br},g)=2\times112=224\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
    4. Afinidade eletrônica do bromo (duas vezes, pois temos 2 átomos): cada átomo
      \mathrm{Br}(g) + e^{-} \to \mathrm{Br^{-}}(g) com \Delta_{\mathrm{ea}}(\mathrm{Br}) = -331\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
      • Para duas partículas: 2\times(-331)=-662\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (energia liberada).
    5. Formação do retículo (entalpia de rede) pela combinação dos íons gasosos:
      \mathrm{Mg^{2+}}(g) + 2\,\mathrm{Br^{-}}(g) \to \mathrm{MgBr_{2}}(s) com entalpia \Delta_{\text{lattice}}H^\circ (incógnita que queremos).
    6. Entalpia de formação global conhecida:
      \mathrm{Mg}(s) + \mathrm{Br_{2}}(l) \to \mathrm{MgBr_{2}}(s) com \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{MgBr_{2}},s)=-524\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 3

Escrevo agora o ciclo de Born–Haber de forma simbólica, mostrando cada etapa com seu símbolo (isto responde ao item (a)):
\begin{aligned} &\text{(1) Atomização do Mg:}\quad \mathrm{Mg}(s) \xrightarrow{\Delta_{\text{atom}}H^\circ} \mathrm{Mg}(g)\\[4pt] &\text{(2) Ionização do Mg:}\quad \mathrm{Mg}(g) \xrightarrow{\Delta_{\text{ion}}H^\circ} \mathrm{Mg^{2+}}(g)+2e^{-}\\[4pt] &\text{(3a) Vaporização do } \mathrm{Br_{2}}:\quad \mathrm{Br_{2}}(l) \xrightarrow{\Delta_{\text{vap}}H^\circ} \mathrm{Br_{2}}(g)\\[4pt] &\text{(3b) Dissociação do } \mathrm{Br_{2}}:\quad \mathrm{Br_{2}}(g) \xrightarrow{\Delta_{\text{diss}}H^\circ} 2\,\mathrm{Br}(g)\\[4pt] &\text{(4) Afinidade eletrônica (2 vezes):}\quad 2\big(\mathrm{Br}(g)+e^{-}\xrightarrow{\Delta_{\mathrm{ea}}H^\circ}\mathrm{Br^{-}}(g)\big)\\[4pt] &\text{(5) Formação do retículo (entalpia de rede):}\quad \mathrm{Mg^{2+}}(g)+2\,\mathrm{Br^{-}}(g)\xrightarrow{\Delta_{\text{lattice}}H^\circ}\mathrm{MgBr_{2}}(s)\\[4pt] &\text{Reação global (conhecida):}\quad \mathrm{Mg}(s)+\mathrm{Br_{2}}(l)\xrightarrow{\Delta_{\mathrm{f}}H^\circ} \mathrm{MgBr_{2}}(s). \end{aligned}çãçãçãçãôçãíçã
Isto é exatamente o ciclo: somando as entalpias das etapas (1) a (5) obtemos a entalpia de formação (etapa global).]

Passo 4

Agora vou usar a equação do ciclo e calcular numericamente a entalpia de rede. A equação algébrica é:
\Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{MgBr_{2}},s)= \Delta_{\text{atom}}H^\circ(\mathrm{Mg},s) +\Delta_{\text{vap}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},l) +\Delta_{\text{diss}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},g) +\Delta_{\text{ion}}H^\circ(\mathrm{Mg},g) +2\Delta_{\mathrm{ea}}H^\circ(\mathrm{Br},g) +\Delta_{\text{lattice}}H^\circ.
Explicando cada termo:
  • \Delta_{\text{atom}}H^\circ(\mathrm{Mg},s)=+148.
  • \Delta_{\text{vap}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},l)=+31.
  • \Delta_{\text{diss}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},g)=+193. (vapor + dissociação = 31+193=224 para gerar dois átomos de Br)
  • \Delta_{\text{ion}}H^\circ(\mathrm{Mg},g)=+2187.
  • 2\Delta_{\mathrm{ea}}H^\circ(\mathrm{Br},g)=2\times(-331)=-662.
  • \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{MgBr_{2}},s)=-524 (dado).
Agora isolamos \Delta_{\text{lattice}}H^\circ:
\Delta_{\text{lattice}}H^\circ = \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{MgBr_{2}},s) - \big[ \Delta_{\text{atom}}H^\circ(\mathrm{Mg},s) +\Delta_{\text{vap}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},l) +\Delta_{\text{diss}}H^\circ(\mathrm{Br_{2}},g) +\Delta_{\text{ion}}H^\circ(\mathrm{Mg},g) +2\Delta_{\mathrm{ea}}H^\circ(\mathrm{Br},g)\big].
Substituindo os números (tudo em \mathrm{kJ\,mol^{-1}}):
\begin{aligned} \Delta_{\text{lattice}}H^\circ &= -524 - \big[148 + 31 + 193 + 2187 + (-662)\big]\\[4pt] &= -524 - \big[148 + (31+193) + 2187 -662\big]\\[4pt] &= -524 - \big[148 + 224 + 2187 -662\big]\\[4pt] &= -524 - \big[148 + 224 + 1525\big]\\[4pt] &= -524 - \big[1897\big]\\[4pt] &= -2421\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}. \end{aligned}
Interpretação e observação sobre sinal:
  • O valor calculado \Delta_{\text{lattice}}H^\circ=-2421\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} é a entalpia associada à formação do sólido iônico a partir dos íons gasosos; isto é, ao formar o retículo libera‑se 2421\\ \mathrm{kJ} por mol (exotérmico).
  • Se a definição exigida pela sua prova ou livro for “entalpia de rede” como a energia necessária para separar o sólido em íons gasosos (dissociação do retículo), então a entalpia de rede nessa outra convenção é +2421\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (mesma magnitude, sinal trocado).
Dados usados e não usados:
  • Usei: \Delta_{\text{atom}}H^\circ(\mathrm{Mg})=+148, soma \Delta_{\text{vap}}+\Delta_{\text{diss}}=+31+193=+224 (ou equivalentemente 2\times112), \Delta_{\text{ion}}=+2187, 2\Delta_{\mathrm{ea}}=-662, e \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ=-524.
  • Não foi necessário usar separadamente o número +112 para \mathrm{Br}(g) porque já temos vap+diss que somam o mesmo 224.]

Passo 5

Dicas para a prova (curtas e úteis):
  • Sempre escreva o ciclo com a reação global e todas as subetapas, marcando claramente quantos elétrons são removidos/recebidos.
  • Cheque sempre a estequiometria (aqui um \mathrm{Br_{2}} fornece exatamente 2 átomos de Br, ótimo).
  • Verifique sinais: ionização é positiva, afinidade eletrônica é negativa (libera energia).
  • Se pedirem a “entalpia de rede” como energia de dissociação, troque o sinal do resultado que deu para a formação.

Resposta

(a) Ciclo (etapas): \mathrm{Mg}(s)\xrightarrow{\Delta_{\text{atom}}H^\circ}\mathrm{Mg}(g)\xrightarrow{\Delta_{\text{ion}}H^\circ}\mathrm{Mg^{2+}}(g)+2e^{-}; \mathrm{Br_{2}}(l)\xrightarrow{\Delta_{\text{vap}}H^\circ}\mathrm{Br_{2}}(g)\xrightarrow{\Delta_{\text{diss}}H^\circ}2\,\mathrm{Br}(g)\xrightarrow{2\Delta_{\mathrm{ea}}H^\circ}2\,\mathrm{Br^{-}}(g); \mathrm{Mg^{2+}}(g)+2\,\mathrm{Br^{-}}(g)\xrightarrow{\Delta_{\text{lattice}}H^\circ}\mathrm{MgBr_{2}}(s).
(b) \Delta_{\text{lattice}}H^\circ = -2421\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (formação do retículo); magnitude para dissociação =+2421\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

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