Construa a classe de equivalência das seguintes frações:
a) \frac{2}{5}

Passo 1

O enunciado nos pede para construir a classe de equivalência da fração \frac{2}{5}. Vamos usar a definição de equivalência no conjunto \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\}).

Passo 2

Em teoria dos números racionais, cada fração é representada por um par (a,b) com b\neq0, e a relação de equivalência \sim é dada por
(a,b)\sim(c,d)\quad\text{se, e somente se,}\quad ad=bc.

Passo 3

Para a fração (2,5), impomos a condição (a,b)\sim(2,5), ou seja,
5a = 2b.

Passo 4

Da equação 5a=2b vemos que b deve ser múltiplo de 5. Escrevendo b=5k com k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, obtemos
a = \frac{2b}{5} = \frac{2\,(5k)}{5} = 2k.

Passo 5

Portanto, a classe de equivalência de (2,5) é
\{(2k,5k)\mid k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}.

Resposta

\Bigl\{\frac{2k}{5k}\;\Bigm|\;k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\Bigr\}.

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