Construa um conjunto que possua exatamente dois elementos minimais.
Passo 1
O problema pede que eu construa um conjunto que possua exatamente dois elementos minimais. Ou seja, preciso apresentar um conjunto (juntamente com uma relação de ordem) tal que, ao olhar para os elementos desse conjunto e essa relação, haja exatamente dois elementos que sejam minimais.
Informações dadas:
Passo 2
Antes de construir, vamos entender direitinho o que significa “elemento minimal” — vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição de elemento minimal (explicação didática):
- Considere um conjunto
equipado com uma relação de ordem parcial que vou chamar de . Essa relação deve ser reflexiva, antissimétrica e transitiva (mas não precisamos entrar em detalhes técnicos agora, só lembrar que é uma ordem). - Dizemos que
é um elemento minimal se não existe nenhum elemento diferente de tal que . - Em palavras simples:
é minimal se não há nenhum outro elemento do conjunto “menor ou igual” do que , exceto ele próprio.
- Em palavras simples:
- É importante diferenciar “minimal” de “menor (least)”:
-
é menor (least) se para todo . Um menor é necessariamente minimal, mas um minimal não precisa ser menor — pode existir mais de um minimal (eles são incomparáveis entre si).
-
Exemplo rápido e intuitivo (antes do exemplo final): imagine três elementos onde dois ficam “embaixo” e um fica “acima” ligado aos dois. Os dois de baixo serão minimal, porque nada está abaixo deles; o de cima não é minimal porque os de baixo são menores do que ele. É esse tipo de configuração que vou construir formalmente.
Passo 3
Escolha do método: vou usar uma construção simples e muito comum em provas e exercícios — subconjuntos com a relação de inclusão
. Isso é elementar (a relação
é uma ordem parcial) e permite construir facilmente exemplos em que haja exatamente dois minimais. É uma escolha prática: não exige coisas avançadas e é fácil de justificar passo a passo.
Passo 4
Construção concreta. Considere o conjunto
E como relação de ordem, uso a inclusão de conjuntos
restrita a
. Ou seja, trabalho com o par ordenado
.
Agora verifico quem são os elementos minimais em
.
Passo a passo para verificar cada elemento:
-
Elemento
: - Procuro algum
com e . - Os candidatos em
são , e . - Temos
e . O único subconjunto de que pertence a é ele mesmo. - Logo não existe
diferente de com . Portanto é minimal.
- Procuro algum
-
Elemento
: - Mesma análise: os elementos de
que poderiam ser subconjuntos de são apenas em . Nem nem estão contidos em . - Logo
é minimal.
- Mesma análise: os elementos de
-
Elemento
: - Procuro
com e . - Tanto
quanto são subconjuntos próprios de e pertencem a . - Então existem elementos de
menores (pela inclusão) que . Logo não é minimal.
- Procuro
Conclusão desta verificação: os únicos elementos minimais de
são
e
. São exatamente dois.
Passo 5
Resumo final e observações úteis para a prova (dicas práticas):
- A construção é pequena e fácil de desenhar: duas “folhas”
e que não se comparam entre si, e um elemento maior acima delas. - Na hora da prova, se pedirem “construa um conjunto com exatamente
elementos minimais”, você pode usar a mesma ideia: tomar conjuntos singulares e adicionar um conjunto que contenha todos eles, por exemplo . Os singulares serão os minimais. - Dica de linguagem: sempre deixe claro qual é a relação de ordem. Sem a ordem, a noção de minimal não faz sentido.
Resposta
Elementos minimais:
.