Construa as curvas paramétricas:
(5)
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Passo 1
O enunciado pede para construir a curva paramétrica
C: x(t)=2 cos³t, y(t)=2 sen³t, t∈[0,2π]. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em ℝ² e vamos precisar eliminar o parâmetro t usando identidades trigonométricas e, em seguida, descrever a forma geométrica resultante.
C: x(t)=2 cos³t, y(t)=2 sen³t, t∈[0,2π]. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em ℝ² e vamos precisar eliminar o parâmetro t usando identidades trigonométricas e, em seguida, descrever a forma geométrica resultante.
Passo 2
Para eliminar t, note que
Aqui usamos a definição das funções trigonométricas inversas de elevar ao cubo.
Passo 3
Aplicando a identidade fundamental
, substituímos:
Essa é a equação implícita da curva.
Passo 4
Essa curva é conhecida como astroide de parâmetro
. Ela é simétrica em relação aos eixos x e y, e seus vértices são
Passo 5
À medida que t varia de 0 a 2π, a astroide é percorrida uma única vez no sentido anti-horário, começando em (2,0) em t=0.
Passo 6
Para esboçar, basta traçar o arco em cada quadrante unindo os vértices mencionados, já que a simetria e a equação implícita guiam o formato.
Passo 7
Resposta
A curva é a astroide de equação
com vértices em (±2,0) e (0,±2), percorrida de t=0 a 2π no sentido anti-horário.