Construa as curvas paramétricas:
(5)
lx(t)=2 cos ^3 t y(t)=2 sen^3 t

Passo 1

O enunciado pede para construir a curva paramétrica
C: x(t)=2 cos³t, y(t)=2 sen³t, t∈[0,2π]. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em ℝ² e vamos precisar eliminar o parâmetro t usando identidades trigonométricas e, em seguida, descrever a forma geométrica resultante.

Passo 2

Para eliminar t, note que
cos t=l(tfracx2r)^1/3, sin t=l(tfracy2r)^1/3
Aqui usamos a definição das funções trigonométricas inversas de elevar ao cubo.

Passo 3

Aplicando a identidade fundamental cos^2t+sin^2t=1, substituímos:
l(tfracx2r)^2/3+l(tfracy2r)^2/3=1
Essa é a equação implícita da curva.

Passo 4

Essa curva é conhecida como astroide de parâmetro a=2. Ela é simétrica em relação aos eixos x e y, e seus vértices são
(2,0),;(-2,0),;(0,2),;(0,-2)

Passo 5

À medida que t varia de 0 a 2π, a astroide é percorrida uma única vez no sentido anti-horário, começando em (2,0) em t=0.

Passo 6

Para esboçar, basta traçar o arco em cada quadrante unindo os vértices mencionados, já que a simetria e a equação implícita guiam o formato.

Passo 7

Resposta

A curva é a astroide de equação
l(tfracx2r)^2/3+l(tfracy2r)^2/3=1
com vértices em (±2,0) e (0,±2), percorrida de t=0 a 2π no sentido anti-horário.

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