A função vetorial
f(t)=l (t-arctan tt^3, e^alpha t-e^-beta tsen alpha t-sen beta t) se t neq 0 (13, alpha+betaalpha-beta), se t=0
é continua em t=0 ?

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma função vetorial definida de maneira diferente para $ t \neq 0 $ e $ t = 0 $. A pergunta é: essa função é contínua em $ t = 0 $?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como calcular limites. A continuidade em $ t = 0 $ significa que o valor da função nesse ponto é igual ao limite da função quando $ t $ se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Continuidade em $ t = 0 $ exige três condições:
  1. A função está definida em $ t = 0 $.
  2. O limite da função existe quando $ t $ se aproxima de 0.
  3. O valor da função em $ t = 0 $ é igual a esse limite.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função vetorial dada.

Passo 3

A função vetorial é dada por:
f(t) = (t - arctan tt^3, e^alpha t - e^-beta tsin(alpha t) - sin(beta t)) & se t neq 0 (13, alpha + betaalpha - beta) & se t = 0
Vamos verificar se cada componente da função é contínua em $ t = 0 $.

Passo 4

1. Primeira componente: $ \frac{t - \arctan t}{t^{3}} $

Queremos calcular:
t - arctan tt^3
Para resolver esse limite, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $.
Primeiro, verificamos se substituindo $ t = 0 $ obtemos $ \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0} $. Como é uma forma indeterminada, aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador:
limt to 0 t - arctan tt^3

2. Segunda componente: $ \frac{e^{\alpha t} - e^{-\beta t}}{\sin(\alpha t) - \sin(\beta t)} $

Queremos calcular:
00
Novamente, substituindo $ t = 0 $:
t = 0
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
Numerador derivado:
0 - 00 = 00
Denominador derivado:
limt to 0 1 - 11 + t^23t^2 = limt to 0 t^21 + t^23t^2 = limt to 0 13(1 + t^2) = 13
Então, o limite se torna:
e^alpha t - e^-beta tsin(alpha t) - sin(beta t)

Passo 5

Agora, com os limites calculados, vamos comparar com o valor da função em $ t = 0 $:
t = 0
Os limites das componentes quando $ t $ se aproxima de 0 são exatamente esses valores. Portanto:
f(0) = (13, alpha + betaalpha - beta)
Isso satisfaz as condições para continuidade.

Resposta

Sim, a função vetorial $ \vec{f}(t) $ é contínua em $ t = 0 $.

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