Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma função vetorial definida de maneira diferente para $ t \neq 0 $ e $ t = 0 $. A pergunta é: essa função é contínua em $ t = 0 $?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como calcular limites. A continuidade em $ t = 0 $ significa que o valor da função nesse ponto é igual ao limite da função quando $ t $ se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Continuidade em $ t = 0 $ exige três condições:
A função está definida em $ t = 0 $.
O limite da função existe quando $ t $ se aproxima de 0.
O valor da função em $ t = 0 $ é igual a esse limite.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função vetorial dada.
Passo 3
A função vetorial é dada por:
f(t) = (t - arctan tt^3, e^alpha t - e^-beta tsin(alpha t) - sin(beta t)) & se t neq 0 (13, alpha + betaalpha - beta) & se t = 0
Vamos verificar se cada componente da função é contínua em $ t = 0 $.
Passo 4
1. Primeira componente: $ \frac{t - \arctan t}{t^{3}} $
Queremos calcular:
t - arctan tt^3
Para resolver esse limite, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $.
Primeiro, verificamos se substituindo $ t = 0 $ obtemos $ \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0} $. Como é uma forma indeterminada, aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador: