Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral $ \int 8 \cos^{3}(2x) \sin^{4}(2x) , dx $. Esse exercício faz parte do estudo das integrais trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos potências ímpares de cosseno. Quando isso acontece, é útil separar um fator de cosseno para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral:
Passo 3
Sabemos que $ \cos^{2}(2x) $ pode ser substituído usando a identidade trigonométrica $ \cos^{2}(u) = 1 - \sin^{2}(u) $. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos fazer a substituição. Seja $ u = \sin(2x) $, então a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Passo 7
Finalmente, substituímos $ u = \sin(2x) $ de volta:
Resposta
A integral resulta em: