Use as estratégias das integrais trigonométricas e indique qual substituição deve ser feita para mostrar como se calcula as integrais abaixo:
integral 8 cos ^3 2 x sen^4 2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral $ \int 8 \cos^{3}(2x) \sin^{4}(2x) , dx $. Esse exercício faz parte do estudo das integrais trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos potências ímpares de cosseno. Quando isso acontece, é útil separar um fator de cosseno para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral:
8 cos^3(2x) sin^4(2x) , dx = 8 cos^2(2x) cdot cos(2x) sin^4(2x) , dx

Passo 3

Sabemos que $ \cos^{2}(2x) $ pode ser substituído usando a identidade trigonométrica $ \cos^{2}(u) = 1 - \sin^{2}(u) $. Aplicando isso:
cos^2(2x)

Passo 4

Agora, vamos fazer a substituição. Seja $ u = \sin(2x) $, então a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = sin(2x)

Passo 5

Substituindo na integral:
8 integral (1 - u^2) u^4 cdot du2 = 4 integral (u^4 - u^6) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
4 ( integral u^4 , du - integral u^6 , du ) = 4 ( u^55 - u^77 ) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos $ u = \sin(2x) $ de volta:
u = sin(2x)

Resposta

A integral resulta em:
integral 8 cos^3(2x) sin^4(2x) , dx = 45 sin^5(2x) - 47 sin^7(2x) + C

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