Construa as curvas paramétricas:
(5)
lx(t)=e^t y(t)=e^-t

Passo 1

Temos a curva paramétrica C dada por x(t)=e^t e y(t)=e^-t. O conteúdo é curvas paramétricas: vamos eliminar o parâmetro para identificar a curva no plano cartesiano, analisar seu domínio, orientação e esboçar sua forma.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, note que x(t),y(t)=e^tcdot e^-t=1. Assim obtemos a forma implícita da curva:
xy=1

Passo 3

Analisando o domínio de t: como tinR, temos x=e^t>0 e y=e^-t>0. Logo a curva é o ramo do hipérbole xy=1 que fica no primeiro quadrante.

Passo 4

Para entender a orientação, observe que: para tto -infty, xto0^+, yto+infty; para tto+infty, xto+infty, yto0^+. Portanto a curva é percorrida de (0^+,infty) em direção a (infty,0^+) conforme t cresce.

Passo 5

Para ajudar no esboço, calcule alguns pontos notáveis: em t=0, (x,y)=(1,1); em t=1, (e,e^-1); em t=-1, (e^-1,e). Com isso traçamos o ramo do hipérbole decrescente no primeiro quadrante, passando por esses pontos.

Resposta

A curva C é o ramo do hipérbole dado por xy=1 no primeiro quadrante, orientada de (0^+,infty) para (infty,0^+).

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