Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
9 x^2-18 y^2+24 y-26=0 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e escrever a equação cônica $ 9x^{2} - 18y^{2} + 24y - 26 = 0 $ na forma padrão. Isso significa que precisamos descobrir que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole, etc.) e reescrever a equação de maneira mais simples. Para isso, vamos precisar usar técnicas de completar o quadrado e reorganizar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de $ x $ e os de $ y $ separadamente:
x
Podemos reescrever isso como:
y

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas para facilitar o processo de completar o quadrado. Observamos que tanto $ 9x^{2} $ quanto $ -18y^{2} $ têm fatores comuns:
9x^2
-18y^2
9x^2 - 18y^2 + 24y = 26

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de $ y $. Para isso, precisamos achar um número que, ao ser adicionado e subtraído, forme um quadrado perfeito:
y
O número a ser adicionado e subtraído é $ \left(\frac{4}{6}\right)^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} $:
y^2 - 43y

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
9x^2 - 18((y - 23)^2 - 49) = 26
9x^2 - 18(y - 23)^2 + 8 = 26

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
9x^2 - 18(y - 23)^2 = 18
Dividindo toda a equação por 18 para simplificar:
9x^218 - 18(y - 23)^218 = 1818
x^22 - (y - 23)^2 = 1

Passo 7

Agora, temos a equação na forma padrão:
(x - 0)^22 - (y - 23)^21 = 1
Isso representa uma hipérbole, pois temos a subtração de dois quadrados igual a 1, com sinais diferentes nos termos quadráticos.

Resposta

A cônica dada é uma hipérbole e a sua forma padrão é:
(x - 0)^22 - (y - 23)^21 = 1

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