Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e escrever a equação cônica $ 9x^{2} - 18y^{2} + 24y - 26 = 0 $ na forma padrão. Isso significa que precisamos descobrir que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole, etc.) e reescrever a equação de maneira mais simples. Para isso, vamos precisar usar técnicas de completar o quadrado e reorganizar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de $ x $ e os de $ y $ separadamente:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas para facilitar o processo de completar o quadrado. Observamos que tanto $ 9x^{2} $ quanto $ -18y^{2} $ têm fatores comuns:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de $ y $. Para isso, precisamos achar um número que, ao ser adicionado e subtraído, forme um quadrado perfeito:
O número a ser adicionado e subtraído é $ \left(\frac{4}{6}\right)^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} $:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo toda a equação por 18 para simplificar:
Passo 7
Agora, temos a equação na forma padrão:
Isso representa uma hipérbole, pois temos a subtração de dois quadrados igual a 1, com sinais diferentes nos termos quadráticos.
Resposta
A cônica dada é uma hipérbole e a sua forma padrão é: