Determine o valor de c para que a função f:(-infty, 3) R^2 definida abaixo seja contínua em t=0.
[
\vec{f}(t)=\left{ l (c+t, 0) se t <= 0 ((3+t3-t)^1 / t, 0), se 0\right.

Passo 1

Então, a gente tem uma função f que depende de t e é definida de duas maneiras diferentes para valores de t menores ou iguais a 0 e para valores de t entre 0 e 3. A questão pede para a gente encontrar o valor de c que faz com que essa função seja contínua em t = 0. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que garante que não haja “saltos” no gráfico da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em t = 0. Isso quer dizer que o limite da função quando t se aproxima de 0 pela esquerda ( t <= 0) deve ser igual ao limite quando t se aproxima de 0 pela direita ( 0 < t < 3), e ambos devem ser iguais ao valor da função exatamente em t = 0.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em t = 0:
f(0) = (c + 0, 0) = (c, 0)
Então, queremos que:
limt to 0^- f(t) = limt to 0^+ f(t) = f(0) = (c, 0)

Passo 4

Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( t <= 0):
limt to 0^- f(t) = limt to 0^- (c + t, 0) = (c + 0, 0) = (c, 0)
Esse já está igual ao valor da função em t = 0, então precisamos garantir que o limite pela direita também seja igual a (c, 0).

Passo 5

Agora, calculamos o limite pela direita ( 0 < t < 3):
limt to 0^+ f(t) = limt to 0^+ ( (3+t3-t)^1/t, 0 )
Precisamos resolver o limite:
L = limt to 0^+ (3+t3-t)^1/t

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos usar o logaritmo natural para simplificar a expressão:
ln L = limt to 0^+ 1t ln(3+t3-t)
Vamos expandir o logaritmo:
ln(3+t3-t) = ln(3 + t) - ln(3 - t)

Passo 7

Usamos a expansão de Taylor para ln(3 + t) e ln(3 - t) perto de t = 0:
ln(3 + t) approx ln 3 + t3
ln(3 - t) approx ln 3 - t3
Então:
ln(3+t3-t) approx (ln 3 + t3) - (ln 3 - t3) = 2t3

Passo 8

Substituímos de volta na expressão de ln L:
ln L = limt to 0^+ 1t cdot 2t3 = 23
Agora, para encontrar L, aplicamos a exponenciação:
L = e^23

Resposta

O valor de c que torna a função contínua em t = 0 é c = e^,2/3.

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