Determine o valor de
para que a função
definida abaixo seja contínua em
.
[
\vec{f}(t)=\left{
\right.
\vec{f}(t)=\left{
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que depende de
e é definida de duas maneiras diferentes para valores de
menores ou iguais a 0 e para valores de
entre 0 e 3. A questão pede para a gente encontrar o valor de
que faz com que essa função seja contínua em
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que garante que não haja “saltos” no gráfico da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Isso quer dizer que o limite da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
) deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
), e ambos devem ser iguais ao valor da função exatamente em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
:
Então, queremos que:
Passo 4
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (
):
Esse já está igual ao valor da função em
, então precisamos garantir que o limite pela direita também seja igual a
.
Passo 5
Agora, calculamos o limite pela direita (
):
Precisamos resolver o limite:
Passo 6
Para resolver esse limite, vamos usar o logaritmo natural para simplificar a expressão:
Vamos expandir o logaritmo:
Passo 7
Usamos a expansão de Taylor para
e
perto de
:
Então:
Passo 8
Substituímos de volta na expressão de
:
Agora, para encontrar
, aplicamos a exponenciação:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.