Sendo a e b números complexos constantes, prove que
\lim _{z \rightarrow z_{0}}(a \mathrm{z}+b)=a \mathrm{z}_{0}+b \text { e } \lim _{z \rightarrow z_{0}}\left(a \mathrm{z}^{2}+b \mathrm{z}+c\right)=a \mathrm{z}_{0}^{2}+b \mathrm{z}_{0}+c .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição \varepsilon \delta de limite em \mathbb{C}, que as funções
f(z)=a\,z+b
e
P(z)=a\,z^{2}+b\,z+c
são contínuas em z_{0}. Em outras palavras, precisamos provar que
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})=a\,z_{0}+b \quad\text{e}\quad \lim_{z\to z_{0}}P(z)=P(z_{0})=a\,z_{0}^{2}+b\,z_{0}+c.
Para isso, usaremos a definição: dizemos que \lim_{z\to z_{0}}F(z)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \lvert z-z_{0}\rvert<\delta teremos \lvert F(z)-L\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Prova de \lim_{z\to z_{0}}(a\,z+b)=a\,z_{0}+b. Seja \varepsilon>0. Note que
\bigl\lvert(a\,z+b)-(a\,z_{0}+b)\bigr\rvert =\bigl\lvert a\,(z-z_{0})\bigr\rvert =\lvert a\rvert\,\lvert z-z_{0}\rvert.
Se a=0, então f(z)=b é constante e basta escolher qualquer \delta>0. Se a\neq0, tome
\delta=\frac{\varepsilon}{\lvert a\rvert}.
Então, sempre que \lvert z-z_{0}\rvert<\delta, temos
\lvert f(z)-(a\,z_{0}+b)\rvert =\lvert a\rvert\,\lvert z-z_{0}\rvert <\lvert a\rvert\,\delta =\varepsilon,
o que prova o resultado.

Passo 3

Prova de \lim_{z\to z_{0}}\bigl(a\,z^{2}+b\,z+c\bigr)=a\,z_{0}^{2}+b\,z_{0}+c. Seja \varepsilon>0. Escrevemos
\bigl\lvert P(z)-P(z_{0})\bigr\rvert =\bigl\lvert a\,(z^{2}-z_{0}^{2})+b\,(z-z_{0})\bigr\rvert =\bigl\lvert(z-z_{0})\bigl[a\,(z+z_{0})+b\bigr]\bigr\rvert.
Logo
\bigl\lvert P(z)-P(z_{0})\bigr\rvert \le \lvert z-z_{0}\rvert\;\bigl(\lvert a\rvert\,\lvert z+z_{0}\rvert+\lvert b\rvert\bigr).
Escolhemos primeiro \delta\le1 para garantir \lvert z-z_{0}\rvert<1, de modo que
\lvert z+z_{0}\rvert \le \lvert z-z_{0}\rvert+2\lvert z_{0}\rvert <1+2\lvert z_{0}\rvert.
Defina
M=\lvert a\rvert\,(1+2\lvert z_{0}\rvert)+\lvert b\rvert, \quad \delta=\min\!\Bigl(1,\frac{\varepsilon}{M}\Bigr).
Então, se \lvert z-z_{0}\rvert<\delta, temos
\bigl\lvert P(z)-P(z_{0})\bigr\rvert \le \lvert z-z_{0}\rvert\;M <\delta\,M \le\varepsilon,
concluindo a prova.

Resposta

\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}(a\,z+b)=a\,z_{0}+b
\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}\bigl(a\,z^{2}+b\,z+c\bigr)=a\,z_{0}^{2}+b\,z_{0}+c

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