Represente graficamente as funções periódicas e, em seguida, calcule a suas séries de Fourier:
  1. f(x) = {-3, -3 <= x < 0, 3, 0 <= x < 3; f(x + 6) = f(x)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente primeiro representar graficamente uma função periódica e depois calcular a série de Fourier dela. A função que a gente tem é:
Isso significa que a função se repete a cada período de 6 unidades no eixo x. Para resolver, vamos precisar saber como representar funções periódicas e entender os conceitos básicos de séries de Fourier, que são uma maneira de quebrar funções periódicas em uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função no intervalo de um período, de -3 a 3. De -3 a 0, a função vale -3, e de 0 a 3, vale 3. Depois, vai repetir esse padrão para os próximos períodos. Imagina uma linha reta horizontal em -3 de -3 a 0 e outra em +3 de 0 a 3, repetindo pra frente e pra trás.

Passo 3

Agora que temos o gráfico, vamos calcular a série de Fourier dessa função. A série de Fourier geral para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes , e .

Passo 4

Vamos começar com , que representa a média da função no período:
Calculando as integrais:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . Eles são dados por:
Devido à simetria da função (ímpar), todos os serão zero.

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes . Eles são dados por:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Sabendo que e :
Na verdade, houve um erro aqui. Vamos refazer essa parte corretamente.

Passo 7

Vamos calcular novamente :
Integrando:
Simplificando:
Como :

Passo 8

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função é:
Podemos simplificar isso observando que quando é par, , então apenas os termos ímpares contribuem. Assim, podemos reescrever a série considerando apenas ímpares.

Resposta

A série de Fourier da função é:

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