Represente graficamente as funções periódicas e, em seguida, calcule a suas séries de Fourier:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente primeiro representar graficamente uma função periódica e depois calcular a série de Fourier dela. A função que a gente tem é:
Isso significa que a função se repete a cada período de 6 unidades no eixo x. Para resolver, vamos precisar saber como representar funções periódicas e entender os conceitos básicos de séries de Fourier, que são uma maneira de quebrar funções periódicas em uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função no intervalo de um período, de -3 a 3. De -3 a 0, a função vale -3, e de 0 a 3, vale 3. Depois, vai repetir esse padrão para os próximos períodos. Imagina uma linha reta horizontal em -3 de -3 a 0 e outra em +3 de 0 a 3, repetindo pra frente e pra trás.
Passo 3
Agora que temos o gráfico, vamos calcular a série de Fourier dessa função. A série de Fourier geral para uma função periódica com período
é dada por:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes
,
e
.
Passo 4
Vamos começar com
, que representa a média da função no período:
Calculando as integrais:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. Eles são dados por:
Devido à simetria da função (ímpar), todos os
serão zero.
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
. Eles são dados por:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Sabendo que
e
:
Na verdade, houve um erro aqui. Vamos refazer essa parte corretamente.
Passo 7
Vamos calcular novamente
:
Integrando:
Simplificando:
Como
:
Passo 8
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função é:
Podemos simplificar isso observando que quando
é par,
, então apenas os termos ímpares contribuem. Assim, podemos reescrever a série considerando apenas
ímpares.
Resposta
A série de Fourier da função
é: