Construa uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} limitada apenas inferiormente e uma função g:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} não limitada nem superior nem inferiormente.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de funções reais:
  1. Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que seja limitada apenas inferiormente (isto é, existe um m\in\mathbb{R} tal que f(x)\ge m para todo x, mas não há teto superior).
  2. Uma função g:(-1,1)\to\mathbb{R} que não seja limitada nem superior nem inferiormente (isto é, atinge valores arbitrariamente grandes positivos e negativos conforme x se aproxima de -1 ou de 1).

Passo 2

Para f, basta escolher algo que toque um valor mínimo, mas cresça sem parar. Por exemplo,
f(x) = x^2.
Observamos que para todo x\in\mathbb{R} vale
f(x) = x^2 \ge 0,
logo f é limitada inferiormente por 0. Por outro lado, se x\to\pm\infty então x^2\to+\infty, mostrando que não há limite superior para f.

Passo 3

Para g, queremos algo que exploda para +\infty de um lado e para -\infty do outro à medida que x se aproxima dos extremos de (-1,1). Um clássico é usar a tangente em escala ajustada:
g(x) = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr).
De fato, quando x\to1^- temos \tfrac{\pi x}{2}\to\tfrac{\pi}{2}^- e \tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\to+\infty.
Quando x\to(-1)^+ temos \tfrac{\pi x}{2}\to-\tfrac{\pi}{2}^+ e \tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\to-\infty. Assim, g não é limitada nem acima nem abaixo.

Resposta

f(x) = x^2 para x\in\mathbb{R}.
g(x) = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr) para x\in(-1,1).

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