Verifique que a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=3 x+5 é bijetora e determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},
f(x)=3x+5
é bijetora e, em seguida, determinar sua inversa.
Conteúdo: propriedades de injetividade e sobrejetividade de funções lineares e cálculo da função inversa.

Passo 2

Para injetividade, suponha que existam x_1,x_2\in\mathbb{R} tais que
f(x_1)=f(x_2).
Então
3x_1+5 = 3x_2+5
\implies 3x_1 = 3x_2
\implies x_1 = x_2.
Como só há uma solução x_1=x_2, f é injetora.

Passo 3

Para sobrejetividade, tome um y\in\mathbb{R}. Queremos x tal que
f(x)=y.
Isto é,
3x+5 = y \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y-5}{3}.
Como para todo y x=(y-5)/3 que atinge esse valor, f é sobrejetora.

Passo 4

A partir de y=f(x)=3x+5 isolamos x e obtemos a inversa
f^{-1}\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f^{-1}(y)=\frac{y-5}{3}.
Verificação rápida:
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) =3\cdot\frac{y-5}{3}+5 =y-5+5 =y,
e
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) =\frac{3x+5-5}{3} =\frac{3x}{3} =x.

Resposta

A função f(x)=3x+5 é bijetora e
f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}.

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