Construa uma função f: R R cujo conjunto dos pontos de descontinuidade é exatamente Z (o conjunto dos números inteiros).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para construir uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que seja descontínua exatamente nos números inteiros $ \mathbb{Z} $. Isso significa que, para cada número inteiro, a função tem uma “quebra” ou “salto”, mas continua suave (contínua) em todos os outros números reais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são continuidade e descontinuidade em funções, e pensar em uma função que tenha essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua ou descontínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto $ a $ se o limite da função quando se aproxima de $ a $ pelo lado esquerdo e pelo lado direito for igual ao valor da função em $ a $. Se isso não acontece, a função é descontínua em $ a $.
Então, queremos uma função que seja descontínua exatamente nos inteiros. Uma boa maneira de pensar nisso é usar algo que “salte” ou mude de valor quando $ x $ for um número inteiro, mas seja constante ou suave entre esses pontos.

Passo 3

Uma função que se encaixa bem nessa descrição é a função “parte inteira” ou “função piso”, que é denotada por $ \lfloor x \rfloor $. Essa função retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a $ x $.
Por exemplo:
  • $ \lfloor 3.2 \rfloor = 3 $
  • $ \lfloor -1.7 \rfloor = -2 $

Passo 4

Vamos analisar a continuidade da função $ f(x) = \lfloor x \rfloor $:
  • Entre os inteiros: Se $ x $ não for um número inteiro, a função $ \lfloor x \rfloor $ mantém um valor constante, já que não há mudança no maior inteiro menor ou igual a $ x $. Portanto, a função é contínua nesses intervalos.
  • Nos inteiros: Quando $ x $ é exatamente um número inteiro, ocorre um “salto” na função. Por exemplo, ao passar de $ x = 2.999 $ para $ x = 3 $, a função muda de 2 para 3 de maneira abrupta, o que significa que há uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 5

Com isso, conseguimos ver que a função $ f(x) = \lfloor x \rfloor $ é contínua em todos os pontos reais que não são inteiros e descontínua exatamente nos números inteiros $ \mathbb{Z} $. Isso atende exatamente ao que foi solicitado no exercício.

Resposta

A função desejada é $ f(x) = \lfloor x \rfloor $, onde $ \lfloor x \rfloor $ representa a parte inteira de $ x $. Essa função é descontínua exatamente nos números inteiros.

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