Sabendo que as curvas y=4 x^{2} e y=\frac{-1}{x} tem retas tangentes paralelas com abscissa comum, determine-as.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede para determinar as retas tangentes que são paralelas entre si e têm abscissa comum. Especificamente:
Curva 1: y=4x^{2}.
Curva 2: y=\dfrac{-1}{x}.
O que se quer: encontrar a(s) abscissa(s) x em que as tangentes às duas curvas, tomadas no mesmo valor de x, sejam paralelas, e então determinar as equações dessas retas tangentes.
Informações relevantes dadas:
As funções estão definidas para x nos seus domínios (observar que y=-1/x não está definida em x=0).
Precisamos achar pontos das duas curvas com a mesma abscissa x tal que as derivadas (que representam o coeficiente angular das tangentes) sejam iguais.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
A derivada de uma função f em um ponto x (quando existe) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva y=f(x) nesse ponto. Ou seja, a inclinação da tangente é f'(x).
A equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa x_0 e ordenada y_0=f(x_0) é dada pela fórmula ponto-inclinação:
y - y_0 = f'(x_0)\,(x - x_0).
Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares devem ser iguais. Então, se queremos tangentes paralelas com abscissa comum x, basta exigir que as derivadas das duas funções naquele mesmo x sejam iguais.
Passo 3
Calculando as derivadas das duas funções (usa-se a regra da potência: se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n x^{n-1}; e a derivada de c\cdot x^{n} é c vezes isso).
Montar as equações das retas tangentes usando a fórmula ponto-inclinação y-y_0=m(x-x_0).
Tangente à primeira curva em P_1:
y-1 = 4\left(x-\tfrac{1}{2}\right).
Desenvolvendo:
y-1 = 4x-2 \quad\Rightarrow\quad y=4x-1.
Tangente à segunda curva em P_2:
y-(-2)=4\left(x-\tfrac{1}{2}\right).
Ou seja,
y+2 = 4x-2 \quad\Rightarrow\quad y=4x-4.
Checagem rápida: ambas têm inclinação 4, logo são paralelas; as duas passam pela mesma abscissa x=\tfrac{1}{2} (apontadas nos pontos), confirmando as condições do enunciado.