Sabendo que as curvas y=4 x^{2} e y=\frac{-1}{x} tem retas tangentes paralelas com abscissa comum, determine-as.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede para determinar as retas tangentes que são paralelas entre si e têm abscissa comum. Especificamente:
  • Curva 1: y=4x^{2}.
  • Curva 2: y=\dfrac{-1}{x}.
    O que se quer: encontrar a(s) abscissa(s) x em que as tangentes às duas curvas, tomadas no mesmo valor de x, sejam paralelas, e então determinar as equações dessas retas tangentes.
Informações relevantes dadas:
  • As funções estão definidas para x nos seus domínios (observar que y=-1/x não está definida em x=0).
  • Precisamos achar pontos das duas curvas com a mesma abscissa x tal que as derivadas (que representam o coeficiente angular das tangentes) sejam iguais.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
  • A derivada de uma função f em um ponto x (quando existe) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva y=f(x) nesse ponto. Ou seja, a inclinação da tangente é f'(x).
  • A equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa x_0 e ordenada y_0=f(x_0) é dada pela fórmula ponto-inclinação:
y - y_0 = f'(x_0)\,(x - x_0).
  • Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares devem ser iguais. Então, se queremos tangentes paralelas com abscissa comum x, basta exigir que as derivadas das duas funções naquele mesmo x sejam iguais.

Passo 3

Calculando as derivadas das duas funções (usa-se a regra da potência: se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n x^{n-1}; e a derivada de c\cdot x^{n} é c vezes isso).
  • Para y_1(x)=4x^{2}:
y_1'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=4\cdot 2x = 8x.
  • Para y_2(x)=-\dfrac{1}{x} = -x^{-1}:
y_2'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-1}\bigr)=-(-1)x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Igualando as derivadas para ter tangentes paralelas no mesmo x:
8x = \frac{1}{x^{2}}.
Resolvendo essa equação para x (multiplicando ambos os lados por x^{2}, lembrando de não permitir x=0 por domínio de y_2):
8x^{3}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{1}{8}.
Tomando a raiz cúbica:
x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}.
Observação: é a única raiz real, e x=\tfrac{1}{2} está no domínio de ambas as funções (não é zero), logo válida.

Passo 5

Calcular os pontos das curvas e o coeficiente angular comum em x=\tfrac{1}{2}.
  • Coeficiente angular comum:
m=8x\Big|_{x=\tfrac{1}{2}}=8\cdot\frac{1}{2}=4.
  • Ordenada na curva y=4x^{2} em x=\tfrac{1}{2}:
y_1\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=4\cdot\frac{1}{4}=1.
Logo ponto P_1=\left(\tfrac{1}{2},1\right).
  • Ordenada na curva y=-\dfrac{1}{x} em x=\tfrac{1}{2}:
y_2\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{1}{\,\tfrac{1}{2}\,}=-2.
Logo ponto P_2=\left(\tfrac{1}{2},-2\right).

Passo 6

Montar as equações das retas tangentes usando a fórmula ponto-inclinação y-y_0=m(x-x_0).
  • Tangente à primeira curva em P_1:
y-1 = 4\left(x-\tfrac{1}{2}\right).
Desenvolvendo:
y-1 = 4x-2 \quad\Rightarrow\quad y=4x-1.
  • Tangente à segunda curva em P_2:
y-(-2)=4\left(x-\tfrac{1}{2}\right).
Ou seja,
y+2 = 4x-2 \quad\Rightarrow\quad y=4x-4.
Checagem rápida: ambas têm inclinação 4, logo são paralelas; as duas passam pela mesma abscissa x=\tfrac{1}{2} (apontadas nos pontos), confirmando as condições do enunciado.

Resposta

y=4x-1
y=4x-4

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